Rationale Näherungen der Kreiszahl Pi

Question

Zeige: 22/7 ist die beste rationale Näherung mit einstelligem Nenner für die Kreiszahl Pi im Dezimalsystem.

(Nach einer alten ZP10-Prüfung.)

Angeregt durch diese Frage:
https://www.mathelounge.de/467484/wurzel-aus-3-als-bruch-darstellen

Comments

So, ich habe noch ein bisschen weiter überlegt. Die Schachtelung

$$ 3+\frac 19 = 3.11\ldots \lt  \pi=3.14\ldots \lt 3.22\ldots = 3+\frac 29 $$lässt sich leicht verbessern zu

$$ 3+\frac 18 = 3.125 \lt  \pi=3.141\ldots \lt 3.166\ldots = 3+\frac 16 $$Damit ist offensichtlich, dass 22/7 zu einer noch besseren Schachtelung führen muss und durch Andividieren ergibt sich

$$ 3+\frac 18 = 3.125 \lt  \pi=3.141\ldots \lt 3.142\ldots = 3+\frac 17 $$und es wird deutlich, dass die obere Näherung besser ist als die untere.

Nun fehlt mir noch ein kurzes Argument, warum es keine besseren Näherungen mit einstelligem Nenner mehr geben kann.

Ok, vielleicht geht das auch etwas eleganter.

Answer 1

hier eine andere Idee:

Betrachtet man zwei mögliche Brüche der Form

x=p/q und x'=p'/q', wobei p eine natürliche Zahlen ist und q=1,...,9,

so ist der minimale Abstand zwischen zwei solchen Brüchen 

x-x' >=1/8-1/9=1/72=0.01388888...

Es ist 22/7-π=3.14285...-3.14159...=0.00126±0.00001<0.01388888...

Also gibt es kein x dieser Form mit 22/7>x>π.

Daraus folgt auch, dass x<=22/7-1/72=1577/504=3.1289...

π-x>=π-1577/504=0.01262...>0.00126±0.00001

Da es aber eine Klasse 10 Aufgabe ist, so ist der gewünschte Weg wahrscheinlich einfach nur die kritischen Brüche aufzuschreiben und der Größe nach sortieren, 

3/1 oder 4/1

6/2 oder 7/2

9/3 oder 10/3

12/4 oder 13/4

15/5 oder 16/5

18/6 oder 19/6

21/7 oder 22/7

25/8 oder 26/8

28/9 oder 29/9

Answer 2

Man kann es über den Ansatz eines Kettenbruches machen:

pi = 3.14159254

pi = 3 + 0.14159254

pi = 3 + 1/7.062513306

pi ≈ 3 + 1/7

pi ≈ 21/7 + 1/7

pi ≈ 22/7

https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch

Comments

Ok, aber zeigt das schon, dass es die beste Näherung mit einstelligem Nenner ist?

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Wärend des Studiums hat unser Prof mal bewiesen, dass ein Kettenbruch die Beste Näherung ist. 

Das war aber glaub ich kein Zweizeiler. Von daher ist meines kein gültiger Beweis, solange nicht bekannt ist, dass ein Kettenbruch die beste Näherung bildet.

Einen Beweis findet man nach Google unter

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~thaeter/anasem08/Kettenbruch2.pdf

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Wenn es um einstellige Näherungen geht, dann kann man die infrage kommenden Brüche samt Abweichung auch notieren. Auch das zeigt es. Ist wohl für für die Stufe ZP10 das Wahrscheinlichste.

Da hat man in der Regel ja auch noch keine Kettenbrüche.

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Weiterhin zeigt ein Kettenbruch hier nur das es die beste Näherung für einen Nenner kleiner gleich 7 ist. Was mit einem Nenner von 8 oder 9 ist wird hier nicht ausgesagt und müsste auch noch geprüft werden.

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danke für die ausführlichen Beiträge. Damals, als ich die Aufgabe zum ersten Mal sah, hatte ich mir verschiedene Ansätze überlegt, dachte aber nicht an Kettenbrüche. Ich nehme den Hinweis als Anregung auf und versuche es auch mal in diese Richtung.

Answer 3

Du kannst ja alle Brüche aufschreiben die einen einstelligen Nenner haben und zwischen 3 und 4 liegen. Davon berechnest Du jeweils die Differenz zu \( \pi \). Dann kommt als beste Näherung \( \frac{22}{7} \) heraus.

Comments

Ja, danke für den Denkansatz. So ähnlich bin ich (genau weiß ich es nicht mehr) wohl auch vorgegangen, als ich die Aufgabe zum ersten mal sah. Da die Aufgabe nur eine kleine Teilaufgabe einer umfangreicheren Gesamtaufgabe war und es nur wenige Punkte dafür gab, muss es also Ansätze geben, die nur wenig Zeit erfordern. Die ca. 30 Brüche "mit einstelligem Nenner zwischen 3 und 4" müssen also irgendwie drastisch gefiltert werden. Damals hatte ich das irgendwie elegant hinbekommen (so meine Erinnerung).

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Machs mit Excel. Dauert 2 Minuten.

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Meine bisherige Idee zum Filtern:

$$ 3+\frac 19 = 3.11\ldots \lt  \pi=3.14\ldots \lt 3.22\ldots = 3+\frac 29 $$

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"Machs mit Excel. Dauert 2 Minuten."

Ja, allerdings hatte ich damals (nach längerer Überlegung) eine 2-Minuten-Lösung mit Papier und Bleistift gefunden. :-(