Affine Unterräume zu zeigen U1=U2

Question

ich habe eine Aufgabe, wo ich überhaupt nicht weiß wie ich rangehen soll. Ich bin über jede Hilfe dankbar :)

Es seien a, b Element V und

a +U1 :={a+u:u element U1}

b + U2 := {b+w: w element U2}

(solche Mengen nennt man affine unterräume)

Zeigen Sie: aus a +U1 =b + U2 folgt U1 =U2

Answer 1

a +U1 =b + U2

Sei x ∈ U1 ==>  a+x ∈  a+U1.

außerdem ist  x ∈ a+U1  wegen 0 ∈ U1

und wegen der Gleichheit also

a+x ∈  b+U2 und   a ∈  b+U2

==>  Es gibt y1,y2  ∈ U2 mit

a+x = b+y1    und   a = b+y2

               ==>  x = a+x - a =  b+y1  - ( b+y2)  = y1 - y2

Da U2 ein Unterraum ist, ist mit y1 und y2 auch  y1-y2 ∈  U2 .

Also sagt #  :            x ∈ U2 .

Entsprechend folgt aus  x ∈ U2 auch  x ∈ U1 .

Also U1 = U2.

Answer 2

   Selbst eine alte Kuh / Lernt doch immer noch dazu.

   Zum ersten Male lerne ich auf diesem Forum wirklich was.

   "  Zwei Untergruppen  / Unterräume sind schon dann gleich, wenn auch nur eine Nebenklasse überein stimmt. "

   Was hier so vornehm  gehandelt wird als Räume der Primaten_Feministinnen - äh Räume der Affinnen -  sind vom Standpunkt der Gruppenteorie nichts weiter als Nebenklassen:

      a  +  U1  =  b  +  U2       |     -  b      (  1  )

       c  :=  a  -  b      (  2  )

       c  +  U1  =  U2      (  3  )

     (  3  )  sagt aus, dass c äquivalent ist modulo  " vektorraum  "   Daraus folgt aber c  €  U1  - denk an die Gruppenteorie .  U1 ist nämlich die einzige Klasse, die den Nullvektor enthält - eine andere Klasse kann überhaupt kein Vektorraum sein bzw. den Nullvektor nicht enthalten; wir haben Partition.  Effektiv steht also da, dass ( Klasse ) U1 gleich ist Vektorraum  U2 .

Answer 3

Hallo

 benutze , dass die Differenz zweier Vektoren aus a+U1 in U1 liegen und du so alle Vektoren aus U! erzeugen kannst. und dass es zu jedm Vektor u aus a+U1 einen Vektor w aus U2 gibt  mot a+u=b+w

Gruß lul