Minimum und Maximum für Mengen und Ringe. Beispiel für einen abzählbaren geordneten Ring ohne Maximum und ohne Minimum?

Question

Sei (X,R) eine endliche totalgeordnete Menge. Zeigen Sie, dass es in X ein Maximum bzw. ein Minimum gibt, also ein x ∈ X mit x ≥ y bzw. x ≤ y für alle y ∈ X. Geben Sie ein Beispiel für einen abzählbaren geordneten Ring ohne Maximum und ohne Minimum und ein Beispiel für eine beschränkte Menge in einem geordneten Körper ohne Maximum und ohne Minimum

Answer 1

a) Wähle ein a aus X und vergleiche es der Reihe nach mit allen

anderen Elementen von X. Sobald du ein größeres findest, wähle dieses

zum Vergleichen mit den noch nicht betrachteten. Es ist ja (wegen der

Transitivität) größer als alle, mit denen schon vergleichen wurde.

Setze das Verfahren fort (und wähle ggf. jeweils ein neues Vergleichselement)

bis alle Elemente von X beim Vergleichen dabei waren. Das ist möglich, weil

es nur endlich viele gibt.

Das Element, das zuletzt zum Vergleichen gemerkt wurde, ist dann

offenbar das größte.

b)  ℤ wäre so ein Beispiel

c) Das offene Intervall ]0,1[ wäre ein Beispiel.