Glücklicher Weise trifft es sich, dass ich vor allem im Job ( als nummerischer Programmierer in einem Welt-Elektronikkonzern ) mit ===> Lagrangepolynomen in Berührung kam. Snst würde ich diese kryptischen Formulierungen gar nicht durchschauen. Aber fangen wir vorne an.
Was ist ein Polynom? Bestimmt keine Funktion; mein hoch verehelichter Prof. " Lothar " wusste da immer ein so herrliches Beispiel. Das Polynom
p € F2 [ x ] := x ² + x ( 1a )
ist sicher nicht das Nullpolynom, da es ja vom 2. Grade ist. Wir wollen aber stets im Hinterkopf behalten: F2 ist der ===> Restklassenkörper mod 2 ===> Schaltkörper. Seine ===> Charakteristik ist 2
1 + 1 = 0 ( 1b )
Dann folgt aber aus ( 1ab )
p ( 0 ) = p ( 1 ) = 0 ( 1c )
Oha; Polynom p induziert die Nullabbildung. Ich meine nur; du musst sorgfältig unterscheiden zwischen dem abstrakten Polynom an und für sich und der Zuordnung, die sich ergibt, wenn du für die Variable x konkrete Zahlen einsetzt. Die Dimension der Algebra F2 [ x ] über F2 beträgt Aleph_0 = ( abzählbar ) unendlich; dagegen Abbildungen von F2 nach F2 gibt es nur 4 Stück.
Ich sage immer im Spaß
" Ein Polynom ist keine Funktion, sondern eine Schablone zum Drucken von Falschgeld. "
Ein Polynom bedarf nämlich keines Definitionsbereichs; es frisst alles, was sich addieren und multiplizieren lässt. Nicht nur Zahlen, sondern auch Matrizen vom format 4 711 X 4 711 ...
Ja selbst Dinge, die heute noch gar nicht entdeckt sind. Das wäre mir ein schöner Definitionsbereich
" Alles, was noch nicht entdeckt ist ... "
Und? Was bedeutet eigentlich die Variable " x " in der Definition eines Polynoms?
GAAAR NICHTS .
Bist du nicht asiatisch gebildet?
" Die vornehmste Meditation ist die über das Nichts ... "
Schau dir das Ganze mal an im v.d. Waerden, noch besser dem Otto_Haupt_Skript. Hinter einem Polynom verbirgt sich weiter nichts als eine ( endliche =) Folge; hey hast du das schon gewusst? Dieses x dient allein Mnemotechnischen Zwecken. Z.B. das Einsetzen von Variablen für dieses x wird dann eingeführt als ===> Homomorphismus von dem ( abstrakten ) Polynomring in den eigentlichen Definitionsbereich. Auf diesem Wege ist die Welt wieder in Ordnung; müssteste dir mal ansehen. Also die Aufgabe setzt definitiv voraus, dass du davon schon mal gehört hast.
In " Dualraum " bin ich absolut Spitze; Ich führ jetzt am besten die ===> Diracsche ===> Bracketnotation ein. Ansonsten schau nochmal im Kowalski oder Greub.
Die Vektoren von V := |R ^ n ( z.B. kanonische Basis ) will ich notieren als Ketvektoren
| i > ; i = 1 , ... , n ( 2a )
Der Dualraum V * wird jetzt eingeführt als Menge aller linearen Abbildungen von V in Grundkörper K ( hier: |R ) Es stellt sich heraus, dass V * eben Falls Dimension n hat; die Elemente von V * wollen wir als " Bra " < j | notieren. Das Prinzip hinter dieser Abbildung wird sofort klar, wenn ich diese Bravektoren speziell so wähle, dass
< i | j > = DELTA ( i ; j ) ( 2b )
Mit DELTA = Kronecker DELTA ( Wenn V * ALLE Abbildungen enthalten soll, muss es stets möglich sein, ( 2b ) zu befriedigen. ) Und den Klammerausdruck auf der linken Seite von ( 2b ) bezeichnen wir sinniger Weise als " Bracket "
So weit leben V und V * erst mal beziehungslos nebeneinander her. Die Erfindung des Skalarprodukts beruht aber gerade darauf, dass du jedem | x > € V umkehrbar eindeutig einen Bildvektor < x | aus V * zuordnest. Du begreifst das sofort, wenn du einmal bedenkst, dass das Skalarprodukt ein Vektorenpaar abbildet nach |R .
Ich muss schon sagen; dein Prof hat sich alle Mühe gegeben, diese Aufgabe gschlampert abzufassen - alle Achtung. Das fängt bereits damit an, dass er abstrakte Polynome mit x notiert; p ( x ) . Sowas vermeiden nun wirklich alle Textbücher; richtig müsste es heißen
p € |R [ x ] ( 3a )
Allen Falls würde ich noch p_x tolerieren.
<< Wenn y0,...yn paarweise
<< verschiedene reelle Zahlen sind
WELCHE Paare gehen miteinander ins Bett? Bitte was soll das heißen ; " Paar weise verschieden " ? Ein Ausdruck aus der matematischen Rumpelkammer, als die Mengenlehre noch nicht erfunden war ... Professionell müsste da stehen: Gegeben sei eine ( endliche ) Teilmenge von |R
M := { x0 , ... x_n } ( 3b )
( Der Mengenbegriff leistet sogar das Verlangte, dass hier keiner doppelt gemoppelt wird. )
Kommt " Weird " von Verwirren? Haach ich bin heute wieder ein Schelm ... Mit zu seiner " Strategy of se weirding " gehört nämlich, dass er die Elemente von ( 3b ) mit y kennzeichnet, so als handle es sich um Ordinatenpunkte. Nein - gemeint sind die ===> Knoten eines Polynoms, daher unbedingt " x "
Kein Standardwerk der nummerischen Matematik würde hier den Dualraum oder obigen Homomorphismus einführen - weil es nämlich nix bringt. Aber es ist nunmal, wie es ist. Dem Dualraum V * entspricht hier die Knotenmenge ( 3b ) ; analog ( 2b ) fragen wir nach der Existenz von Polynomen
p_i ( x_j ) = DELTA ( i ; j ) ( 4 )
( 4 ) ist glaub ich selbst erklärend. Ich will mal gnädig sein; diese Polynome bezeichne ich tatsächlich als ortogonal - obgleich diese flapsige Sprechweise durchaus problematisch ist. Aber so weit geht denn dein Prof doch nicht, ein Skalarprodukt zu stiften zwischen Polynomen einerseits und reellen Zahlen andererseits - das ist dann doch zu abseitig.
Solche Polynome existieren tatsächlich; Giuseppe Lodovico Spagettix Pomodoro Lagrangia da Torino hat sie explizit angegeben:
( x - x0 ) .... ( x - x_i-1) ( x - x_i+1 ) ... ( x - x_n)
p_i := ----------------------------------------------------------------------
( x_i - x0 ) .... ( x_i - x_i-1) ( x_i - x_i+1 ) ... ( x_i - x_n)
( 5 )
Es tut mir außerordentlich Leid, dass der Platz nicht mehr ausreicht.
Nun weißt du, dass die Dimension von V gleich ( n + 1 ) beträgt. Um als V * durchzugehen, müsste V * nach dem, was ich oben sagte, die selbe Dimension haben. Da könnte ich ja her gehen und beliebig viele Stützstellen eingeben.
Die Existenz der Zerlegung bzw. Entwicklung hatten wir in ( 5 ) bewiesen; das machst du übrigens ganz analog jedem anderen ortogonalen Funktionensystem. Fehlt nur noch Eindeutigkeit. Sprich: Wenn das Interpolationspolynom in sämtlichen Knoten verschwindet, wäre es noch nicht das Nullpolynom. Sowas ist an sich mit dem Prinzip hinter V * unvereinbar; diejenige ( eindeutige ) Abbildung, die zu sämtlichen Fjn ktionen ortogonal ist, ist die Nullabbildung.
Den Beweis findest du in allen einschlägigen Textbüchern; gesetzt den Fall, die Polynome ( 5 ) wären linear abhängig. Dann gäbe es eine nicht triviale Darstellung der Null.
Ein Polynom, dessen Grad ( höchstens ) n beträgt, kann aber unmöglich ( n + 1 ) Nullstellen haben.
