Vektorraum, Äquivalenz von Aussagen zeigen.

Question

Sei V ein Vektorraum und P:V->V ein Endomoprhismus. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender aussagen.

i) P ist idempotent

ii) Die Einschränkung von P auf U:= Bild(P) ist die Identität.

iii) Es existieren Unterräume $$ U,W \subset V, sodass~U+W=V ~und~ P(u+w)=u~für~alle~u \in U~und~w \in W$$

Kann mir wer helfen zu mindest i=>ii zu zeigen? Ich komme irgendwie nicht wirklich in die Aufgabe hinein :/

Answer 1

i) ==> ii)

P idempotent Und sei w ∈ Bild(P) . d,.h. Es gibt v ∈ V mit P(v)=w

==>  P(v) = P(P(v) )

==>    w = P(w)  . Also P _{| Bild( P)} = id _Bild(P)  .