Wie löse ich das Integral ∫_{1}^{e} ln(x) / 2x

Question

Wie löse ich das Integral?

$$\int_{1}^{e}\frac{ln(x)}{2x}$$

Substitution bringt mich ja nicht viel weiter.

Answer 1

Substitution bringt mich ja nicht viel weiter. ->doch

Comments

Du hast vergessen zwischendrin die Integralgrenzen mit zu substituieren.

Answer 2

Partielle Integration über den Phönix

∫ LN(x)/(2·x) dx = ∫ 0.5/x·LN(x) dx = 0.5·LN(x)^2 - ∫ 0.5·LN(x)·1/x dx

2·∫ 0.5/x·LN(x) dx = 0.5·LN(x)^2

∫ 0.5/x·LN(x) dx = 1/4·LN(x)^2

Comments

ist aber wohl etwas umständlich.

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Findest du das umständlich? Das ist ein recht einfacher Dreizeiler. Schau mal deine Lösung an wie viele Zeilen du brauchst.

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Dieser Meinung bin ich nicht. Ich habe es doch extra ausführlich geschrieben, damit er es versteht. Ich kann das natürlich auch viel kürzer schreiben.Partielle Integration ist doch immer das letzte Mttel, wenn alle anderen Methoden "versagen"

:-)

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Deine Vorletzte Zeile ist auch etwas unsauber. Die Lösung eines bestimmten Integrals ist keine Stammfunktion.

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Ich würde sagen, dass es dort kein "besser" oder "schlechter" gibt. Es ist das gleiche wie bei der Berechnung der Nullstellen einer Quadratischen Funktion. Manche benutzen die pq-Formel, manche die abc-Formel und andere versuchen ein Produkt draus zu machen.

So ist es meiner Meinung nach auch hier.

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@Smitty,

Dann geh mal zu den Schülern hin und frage , wer Phönix kennt?

Meinst Du die kriegen das damit gelöst? Ich denke eher nicht.

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Partielle Integration ist doch immer das letzte Mittel, wenn alle anderen Methoden "versagen".

Sagt wer? Nur jemand dem die Partielle Integration nicht liegt :)

Partielle Integration eignet sich doch doch gut zum Integrieren von LN(x)  oder x·LN(x). An diesen Beispielen haben wir es sogar gelernt. Und da 0.5·x^{-1}·LN(x) davon nicht so abweichend ist liegt es nahe das auch so zu machen.

Weiterhin ist ein anderer Name der partiellen Integration auch Produktintegration. Wenn man ein Produkt hat kann man also durchaus mal nachdenken, wie Produkte integriert werden können.

Aber letztendlich ist es Geschmackssache welchen Weg man benutzt. Wenn du hier lieber die Substitution anwendest ist das ja ganz legal und nicht verkehrt.

Das es einfacher ist, das zu Beurteilen überlasse ich gerne jedem einzelnen.

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Bei Integralen der Form

$$ \int g(f(x))f'(x)dx $$

wird immer substituiert. Partiell funktioniert hier nur in Sonderfällen.

Hier ist g(x)=x natürlich besonders angenehm.

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Bei Integralen der Form ... wird immer substituiert.

Das halte ich für falsch. Bei uns Im Mathebuch ist z.B. ∫ COS(x)·SIN(x) dx auch über partielle Integration gelöst.

https://www.youtube.com/watch?v=7irXfnXiPG8
Hier auch ab 2:24.

Vermutlich natürlich auch weil in unserem Schulbuch Integration durch Substitution keine Anwendung findet.

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Du hast den entscheidenden Part in meinem Kommentar durch ... ersetzt ;)

sin(x)cos(x) ist ein weiterer Sonderfall.

Versuch mal

$$\int ln(sin(x))cos(x)dx $$

oder

$$\int tan(x)(1+tan^2(x))dx $$

mit partieller Integration zu lösen.

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Redet Schülern/Studenten auf keinen Fall ein, dass etwas immer nur auf einem Wege zu geschehen hat. Grundsätzlich ist die Wahl des Lösungsweges frei. Außer in Prüfungen ist etwas bestimmtes verlangt.

Löse x^2 + 2x +1 = 0 über

1. faktorisieren über binomische Formel
2. faktorisieren über den Satz von Vieta
3. pq-Formel
4. abc-Formel

Es können im Unterricht/Studium auch vorher absprachen vom Lehrer/Dozenten vorgegeben werden.

z.B. VENN-Diagramme sind für Beweise nicht zugelassen.

Und auch wenn ein Schüler eine Gleichung x^2 + px = 0 mit der pq-Formel löst ist das Grundsätzlich ok, auch wenn ausklammern hübscher ist.

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Du hast den entscheidenden Part in meinem Kommentar durch ... ersetzt ;)

Jeder kann nachlesen was du geschrieben hattest. Ist COS(x) nicht die Ableitung von SIN(x)?

Darauf bezog sich der Kommentar

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Versuch mal ... mit partieller Integration zu lösen.

Das brauche ich nicht. Ich habe nicht gesagt das Produkte grundsätzlich immer über die partielle Integration zu erfolgen haben. Grundsätzlich ist einem der Lösungsweg frei gestellt.

Jeder solle das anwenden was er kann und gelernt hat und in dem vorliegenden Fall für einfach erachtet.

Grundsätzlich ist es auch nicht schlimm wenn man anfängt, merkt es geht so nicht und dann einen anderen Weg probiert solange bis es gelöst ist.

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Mit

wird immer substituiert

habe ich gemeint, das es immer zum Erfolg bei solchen Integralen führt. Andere Lösungsmethoden funktionieren dann nur in Spezialfällen. Daher bevorzuge ich diese Methode. Klar kann man das im Video gezeigte Beispiel sin(x)cos(x) auch partiell machen. Aber bei komplexeren Integralen sollte das man nicht unbedingt erst probieren, wenn man eine simple Substitution machen kann.

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Grundsätzlich ist es auch nicht schlimm wenn man anfängt, merkt es geht so nicht

 

Wenn einem das in einer Übungsaufgabe passiert ist es umso besser, denn dann hat man selber herausgefunden, dass es bei jener Art von Aufgaben nicht funktioniert. :)

Jeder solle das anwenden was er kann und gelernt hat und in dem vorliegenden Fall für einfach erachtet.

Da stimme ich dir komplett zu. Solange man auf das gleiche kommt, ist es egal, wie man zum Ergebnis kommt.