Partielle Ableitung von Normfunktion

Question

zu berechnen ist der Gradient von  $$||x||^n $$ mit

$$n \in \mathbb R ; D = \mathbb R^n, f: D \rightarrow \mathbb R^n $$

defniert durch $$ f(x) = ||x||^n $$ mit $$ ||x||= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} $$

Meine Ideen:

$$ ||x||= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} ^n = (\sum_{i=1}^n {x^2_i})^{\frac{n}{2}} $$

$$ \frac{\partial f}{\partial x_i}  = \frac{n}{2}  (\sum_{i=1}^n {x^2_i})^{\frac{n-2}{2}} 2x_i   $$

Ist das der richtige Ansatz?

Answer 1

Ja, das ist ein richtiger und zielführender Ansatz.

Allerdings habe ich zwei kleine Bemerkungen/Korrekturen ...

In der Zeile\(\lVert x\rVert=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}^n={(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})}^{\frac{n}{2}}\) sollte eher \({\lVert x\rVert}^n\) statt \(\lVert x\rVert\) stehen.

Außerdem hast du in der Aufgabenstellung \(f : D\to\mathbb{R}^n\) geschrieben. Da sollte wohl eher \(f : D\to\mathbb{R}\) stehen.

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Wenn du den Ansatz weiter verfolgst ...

\(f(x) = {\lVert x\rVert}^n={\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\right)}^n={\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}^{\frac{n}{2}}\)

\(\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x_i} &= \frac{n}{2}\cdot{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot2 x_i \\&= n\cdot{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)}^{\frac{n-2}{2}}\cdot x_i \\&= n\cdot{\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\right)}^{n-2}\cdot x_i\\&= n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x_i\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}\nabla f(x) &= \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}  \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x_1  \\ \vdots \\ n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x_n\end{pmatrix} \\&= n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot \begin{pmatrix}x_1  \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x\end{aligned}\)

... solltest du schließlich zum Ergebnis \(\nabla f(x) = n\cdot{\lVert x\rVert}^{n-2}\cdot x\) gelangen.

Comments

Danke :)

Ja ich habe mich wirklich sehr schlimm verschrieben :(

Dann hätte ich noch eine Frage:

n ist so zu bestimmen, das gilt:  $$ \sum_{i=1}^n \partial_i( \partial_i f)=0 $$

D.h es muss gelten:

$$ \partial_i( \partial_i f) = \partial_i (n ||x||^{n-2} x_i )= n ||x||^{n-2} + (n-2)  x^2_i ||x||^{n-4}=0  $$

wobei  $$ x \ne 0 $$ist

D.h also s muss  $$   n ||x||^{n-2} = -  (n-2)  x^2_i ||x||^{n-4}    $$

Dann wäre jeder Summand 0 und damit die Summe.

Ist das bis hierhin richtig?

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Du hast fast richtig berechnet, dass \(\partial_i\partial_if(x)=n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+n\cdot(n-2)\cdot x_{i}^2\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\) ist. [Dir fehlt ein \(n\).]

Jedoch muss nicht unbedingt \(\partial_i\partial_if(x) = 0\) für alle für \(i\in\lbrace1, \dots, n\rbrace\) sein, damit die Summe 0 wird. Eine Summe kann auch 0 werden ohne dass alle Summanden 0 sind.

Wenn du forderst, dass jeder Summand 0 ist, wirst du im Allgemeinen keine entsprechende Zahl \(n\in\mathbb{N}\) finden können.

Stattdessen solltest du die berechneten partiellen Ableitungen in deine Summe stecken und die Summe dann etwas weiter vereinfachen/ausrechnen.

[spoiler]

\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\partial_i \partial_i f(x) &= \sum_{i=1}^{n}\left(n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+n\cdot(n-2)\cdot x_{i}^2\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\right) \\&= \sum_{i=1}^{n}\left(n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+n\cdot(n-2)\cdot x_{i}^2\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\right) \\&= n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\cdot\sum_{i=1}^{n}1+n\cdot(n-2)\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\cdot\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2 \\&= n\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\cdot n+n\cdot(n-2)\cdot\lVert x\rVert^{n-4}\cdot{\lVert x\rVert}^2 \\&= n^2\cdot\lVert x\rVert^{n-2}+(n^2-2n)\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\\&= (2n^2-2n)\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\\&= 2n\cdot(n-1)\cdot\lVert x\rVert^{n-2}\end{aligned}\)

Die Summe wird demnach \(0\), wenn \(n=0\) oder \(n=1\) ist.

[/spoiler]

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Vielen Dank:)

Ich habe alles verstanden:)

Schönen Tag dir noch:)