Normfunktion Teiler in Z[i]

Question

Aufgabe: Verständnisfrage zur Normfunktion

…

Problem/Ansatz: Wir hatten eine Übungsaufgabe in der wir die Normfunktion (N: R\{0} bildet ab auf N0 ) nutzen sollten, um alle Teiler von 3+ i in Z[i] zu bestimmen.

 Zur Berechnung der Teiler haben wir uns nur die Normen 1,2,5,10 angeschaut und ich verstehe nicht warum?

Woher weiß ich, dass 3 + i keine Teiler mit Norm 8 oder 9 hat?

Answer 1

Hallo,

die Norm ist multiplikativ, d.h. \( N(xy) = N(x)N(y) \). Daraus folgt insbesondere für zwei Ringelemente \( x,y \) mit \( x | y \), dass \( N(x) | N(y) \). Die Norm von \( 3+i \) ist \( 3^2 + 1^2 = 10 \). Es reicht also Elemente mit Norm 1, 2, 5, 10 zu betrachten, da das gerade die Teiler von 10 sind.

Comments

Verstehe, vielen Dank.