Sei \(A\in K^{(a, a)}\) invertierbar und \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\).
Dann gibt es mindestens einen Eigenvektor \(u\in K^a\) (wobei \(u\) nach Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren nicht der Nullvektor ist), so dass dann also \(A u = \lambda u\) ist.
Idee: Multipliziere bei der Gleichung \(A u = \lambda u\) von links mit \(A^{-1}\).
[spoiler]
Dann erhält man \(A^{-1} A u = A^{-1}\lambda u\), also \(u = \lambda A^{-1} u\).
Idee: Multipliziere bei der Gleichung \(u = \lambda \cdot A^{-1} u\) mit \(\frac{1}{\lambda}\).
[/spoiler]
[spoiler]
Man erhält \(\frac{1}{\lambda}u = A^{-1} u \) und damit \(A^{-1}u = \frac{1}{\lambda}u\). Damit ist dann \(\frac{1}{\lambda}\) ein Eigenwert von \(A^{-1}\) und \(u\) ein zugehöriger Eigenvektor, so dass dann auch \(u\in\text{E}(A^{-1}, \frac{1}{\lambda})\) ist.
[/spoiler]
