Matrizendrehung in dreidimensionalem reellen Vektorraum

Question

Hallo miteinander,

Aufgabe:

"Für i = 1, 2, 3 sei $$Xi: \mathbb R^3 -> \mathbb R^3$$ die Drehung um die x_i-Achse um π/2 entgegen dem Uhrzeigersinn
(bei rechtshändiger Anordnung der Achsen) und X_i^-1 die Drehung im Uhrzeigersinn. Bestimmen
Sie die zugehörigen Matrizen bzgl. der kanonischen Basis fur jedes X_i und X_i^-1. Bestimmen Sie
durch geometrische Betrachtungen X₁^-1 X₂ X₁ und überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie die Matrixmultiplikation ausführen. "

Also von "die Drehung" bis hin zu "und  überprüfen Sie" verstehe ich nur Bahnhof. Hat irgendwer eine Idee hierzu? :D 

Answer 1

Drehmatrizen für Drehungen um den Winkel α (entgegen dem Uhrzeigersinn) :

\( \text{in } ℝ^2:  \begin{pmatrix} cos(α)&-sin(α)\\ sin(α)&cos(α)\end{pmatrix} \)  [ wird hier nicht benötigt ]

\( \text{in } ℝ^3\text{ um die }x_1\text{-Achse: }  \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&cos(α)&-sin(α)\\ 0&sin(α)&cos(α)\end{pmatrix} \)

\( \text{in } ℝ^3 \text{ um die }x_2\text{-Achse: } \begin{pmatrix} cos(α)&0&sin(α)\\0&1&0\\ -sin(α)&0&cos(α)\end{pmatrix} \)

\( \text{in } ℝ^3\text{ um die }x_3\text{-Achse: } \begin{pmatrix} cos(α)&-sin(α)&0\\sin(α)&cos(α)&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} \)

Deine Matrizen X_i erhältst du durch Einsetzen von α = π/2 in die entsprechende Matrix.

X_i^-1  ergibt sich jeweils durch Einsetzen von  α = - π/2  oder durch Berechnen der jeweiligen inversen Matrix.

Gruß Wolfgang