Warum folgt hieraus, dass V = ker f ⊕ im f?

Question

Es sei U ein linearer Unterraum eines euklidischen oder eines unitären K- Vektorraumes V , und π : V → U sei die Orthogonalprojektion.

Man zeige:
die Abbildung f : V → V , v ↦ v-π(v), ist ein Endomorphismus und es gilt f ο f = f.
Warum folgt hieraus, dass V = ker f ⊕ im f?

Comments

Hallo

 Kern und Bild von f kannst du doch direkt hinschreiben? (sonst überleg es erstmal im R²)

Gruß lul

Answer 1

Warum folgt hieraus, dass V = ker f ⊕ im f?

D.h. doch:  Für alle v∈V gibt es a ∈ ker f und b ∈ Im f mit v= a+b

oder auch v-b = a.

Nun ist aber immer f(v) ∈ Im f , kann also als b genommen werden

und dann ist f( v-b) = f( v - f(v)) = f(v) - f(f(v))

            = f(v) - f(v) = 0, also in der Tat a ∈ ker f.

Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt von  ker f und im f nur

aus der 0 besteht.

Comments

Wie folgt daraus, dass ker f=U und im f= U orthogonal?