Zeigen Sie V = ker(f) ⊕ Im(f)

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung
mit f ◦ f = f. Zeigen Sie V = ker(f) ⊕ Im(f)

Comments

Benutze den Dimensionssatz und f(Kern)=0 und f(Bild)=Bild

Gruß lul

Answer 1

Für beliebiges \(v\in V\) gilt

\(v=(v-f(v))+f(v)\)

Nun ist \(f(v-f(v))=f(v)-f(f(v))=f(v)-f(v)=0\),

also \(v-f(v)\in Ker(f)\).

Klar ist \(f(v)\in Im(f)\), insgesamt folgt:

\(V=Ker(f)+Im(f)\).

Ist \(v\in Ker(f)\cap Im(f)\), so gilt \(f(v)=0\; \wedge \;\exists w\in V: \; v=f(w)\),

also \(v=f(w)=f(f(w))=f(v)=0\). Die Summe ist also direkt.