Zeigen Sie V = ker(f) ⊕ Im(f)

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung
mit f ◦ f = f. Zeigen Sie V = ker(f) ⊕ Im(f)

Comments

Benutze den Dimensionssatz und f(Kern)=0 und f(Bild)=Bild

Gruß lul

Answer 1

Für beliebiges $v\in V$ gilt

$v=(v-f(v))+f(v)$

Nun ist $f(v-f(v))=f(v)-f(f(v))=f(v)-f(v)=0$,

also $v-f(v)\in Ker(f)$.

Klar ist $f(v)\in Im(f)$, insgesamt folgt:

$V=Ker(f)+Im(f)$.

Ist $v\in Ker(f)\cap Im(f)$, so gilt $f(v)=0\; \wedge \;\exists w\in V: \; v=f(w)$,

also $v=f(w)=f(f(w))=f(v)=0$. Die Summe ist also direkt.