Von Parameterform zu Koordinatenform

Question

meine Aufgabe lautet: Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene. 

E: $$\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r  * \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} + s *\begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}$$

Ich komme auf das Ergebnis: E: -6x₁-5x₂-2x₃ = 2 
in den Lösungen steht jedoch, dass es zum Beispiel: E: 3x₁+6x₂+4x₃=12 sein kann.
Stimmt meine Lösung dann nicht oder gibt es mehrere Möglichkeiten?

Answer 1

Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren

N = [-1, 2, 0] ⨯ [1, 0, 3] = [6, 3, -2]

Koordinatengleichung ist jetzt

E: X * [6, 3, -2] = [1, 2, 3] * [6, 3, -2]

E: 6x + 3y - 2z = 6

Weder du noch die Lösung liegt richtig.

Alle anderen Lösungen erhältst du indem du die Koordinatengleichung mit einer reellen Zahl ungleich Null multiplizierst.

Answer 2

Es gibt zwar immer mehrere Möglichkeiten, aber die unterscheiden sich

dann nur um einen von 0 verschiedenen Faktor.

Hier bekommst du einen Normalenvektor durch das Vektorprodukt von

-1
2
0

und

1
0
3

und das ist 
6
3
-2

also ist die Gleichung

6x+3y-2z=d

und mit dem Punkt (1;2;3) bekommst du d=6

also   6x+3y-2z=6

oder 12x+6y-4z=12 oder so.

Answer 3

(1) x=1-r+s

(2) y=2+2r

(3) z=3+3s

2·(1)+(2)=(4) 2x+y=4+2s

3·(4) - 2·(3) 6x+3y-2z=6