Seien α >0, β >0, f:R→R eine beliebige stetig differenzierbare Funktion, sodass |f′(ξ)|<α/β für alle ξ∈R, und definiere die Gleichung z−αx=f(y−βx) implizit eine Funktion x von (y,z). Zeigen Sie, dass x der partiellen Differentialgleichung
$$ \alpha \frac{\delta x}{\delta z} + \beta \frac{\delta x}{\delta y} = 1 $$
genügt.
Meine Idee:
Ich habs so verstanden.
Also α und β sind irgendwelche positiven Zahlen. Die Steigung am Punkt ξ soll immer kleiner sein als α/β. Das scheint die Bedingung zu sein.
Aus der Gleichung z−αx=f(y−βx) soll ich eine implizite Funktion x(y,z), wahrscheinlich am Punkt ξ, finden. Damit die partielle Differentialgleichung stimmt.
So.... Wie fangt man hier an. Ich versuch aus der Differentialgleichung herauszulesen, wie die ersten Ableitungen nach z, nach y ausschauen. Umkehrung der Kettenregel.
$$ x'(y,z) = \begin{pmatrix} x'_y \\ x'_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} $$
Und dann muss
$$ x(y,z) = (\alpha y + \beta z) $$
weiß nich ergibt irgendwie keinen sinn :P
