Wie kann ich die Gültigkeit der Ungleichung zeigen?

Question

Sei \( A=({ a }_{ ij }) \) eine reelle Matrix mit m Zeilen und n Spalten, \( x \epsilon { IR }^{ n } \) und

\( ||A||=\underset { { ||x|| }_{ 2 }\le 1 }{ sup{ ||Ax|| }_{ 2 } } ,{ ||A|| }_{ eucl }=\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ m } \sum _{ i=1 }^{  n}{ |{ a }_{ i,j }|^2 }  } \)

Wie kann ich die Gültigkeit der Ungleichung zeigen?

\( ||A||\le { ||A|| }_{eucl }\le \sqrt { n } ||A|| \)

Answer 1

Für alle \(i\in\lbrace1, \dots , m\rbrace\) ist mit Cauchy-Ungleichung (bzw. Hölder-Ungleichung mit Exponenten \(p = q = 2\))

$$ \left\lvert\sum_{j=1}^{n} a_{ i j}x_j\right\rvert \leq \sqrt{\sum_{j=1}^{n} \lvert a_{ i j}\rvert^2}\cdot \underbrace{\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\lvert x_j\rvert^2}}_{=\lVert x \rVert_2}\text{.} $$

Damit erhält man:

$$ \begin{aligned}\lVert A\rVert &= \sup_{\lVert x\rVert_2 \leq 1}\lVert A x \rVert_2=\sup_{\lVert x\rVert_2 \leq 1}\left\lVert \left(\sum_{j=1}^{n}a_{i j}x_j\right)_{i=1, \dots, m} \right\rVert_2=\sup_{\lVert x\rVert_2 \leq 1}\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left\lvert\sum_{j=1}^{n} a_{ i j}x_j\right\rvert^2}\\&\leq \sup_{\lVert x\rVert_2 \leq 1}\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left(\sqrt{\sum_{j=1}^{n} \lvert a_{ i j}\rvert^2}\cdot \underbrace{\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\lvert x_j\rvert^2}}_{=\lVert x \rVert_2\leq1}\right)^2} =\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\lvert a_{i j}\rvert^2}=\lVert A\rVert_{\text{eucl}}\end{aligned} $$

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Sei \(\lbrace e_1, \dots, e_n \rbrace\subseteq\mathbb{R}^n\) die Standardbasis. Dann ist:

$$ \begin{aligned}\lvert A\rVert_\text{eucl}^2 &= \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\lvert a_{ i j }\rvert^2= \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}\lvert a_{ i j }\rvert^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert (a_{i j})_{i = 1, \dots, m}\rVert_2^2=\sum_{j=1}^{n} \lVert A e_j \rVert_2^2\\&\leq\sum_{j=1}^{n}\sup_{\lVert x\rVert_2\leq1}\lVert A x \rVert_2^2=\sum_{j=1}^{n}\lVert A\rVert^2 = n \lVert A \rVert^2\end{aligned} $$

Wurzelziehen liefert daraus \(\lvert A\rVert_\text{eucl} \leq \sqrt{n} \lVert A \rVert\).