Gültigkeit von Ungleichungen durch Abschätzungen zeigen

Question

Zu berechnen sind die Integrale

\( I(k)=\frac{1}{e} \int \limits_{0}^{1} e^{x} x^{k} d x, \quad k=0,1,2, \ldots \)

Zeigen Sie mit geeigneten Abschätzungen die Gültigkeit der Ungleichungen

\( 0<I(k+1)<I(k) \)

\( \frac{1}{e(k+1)}<I(k)<\frac{1}{k+1} \)

Answer 1

Die erste Ungleichung folgt sofort aus der Abschätzung $$\mathrm{e}^xx^k\geq \mathrm{e}^xx^{k+1}>0$$ für \(x\in (0;1)\) sowie der Monotonie des Integrals.

Die zweite Ungleichung (part. Integration) folgt aus $$\frac{1}{\mathrm {e} (k+1)}=\frac{1}{\mathrm {e}}\int\limits_{0}^{1}\! x^k\,\mathrm{d}x<\frac{1}{\mathrm {e}}\int\limits_{0}^{1}\! \mathrm{e}^xx^k\,\mathrm{d}x=I(k)=\frac{1}{\mathrm {e}(k+1)}[\mathrm{e}^xx^{k+1}]_0^1-\frac{1}{k+1}I(k+1)=\frac{1}{k+1}(1-I(k+1))<\frac{1}{k+1}.$$