Aloha :)
Wir verwenden für beide Abschätzungen den binomischen Lehrsatz:
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}$$Im Folgenden sei \(n\ge2\). Zur Abschätzung nach unten lassen wir alle Summanden außer den ersten beiden für \(k=0\) und \(k=1\) weg. Das führt uns auf:
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>\binom{n}{0}\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}\frac{1}{n}=1\cdot1+n\cdot\frac{1}{n}=1+1=2\implies\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2$$Das echte Größerzeichen gilt, weil wir wegen \(n\ge2\) mindestens einen positiven Summanden weggelassen haben. Zur Abschätzung nach oben gehen wir wie folgt vor:
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot1^k=\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2-2\left(\frac{1}{2}\right)^n=3-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<3$$
