Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichungen

                          

Text erkannt:

$2<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<3$ für $n \in \mathbb{N}$ mit $n \geq 2$

Comments

Hallo,

da die Ungleichung für alle $n\in \mathbb{N}_{\geq 2}$ gezeigt werden muss, solltest du sofort an vollständige Induktion denken -- hast du das bereits versucht?

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Ja habe ich versucht, scheitere aber kläglich..

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Dass der Induktionsschritt eventuell nicht funktioniert, glaube ich dir. Der Induktionsanfang sollte aber kein Problem sein. Hast du schon mal recherchiert oder willst du einfach eine Schritt-für-Schritt-Lösung, damit du dein Übungsblatt abgeben kannst?

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Bei den Aufgaben zu denen ich nichts finden kann melde ich mich natürlich dann hier, dafür ist die Seite doch da. Oder habe ich jetzt was missverstanden?

Als kein "Mathe-Crack" sind für mich halt viele Aspekte nicht so "trivial" wie für andere. Trotzdem würde ich diese gerne zumindest im Ansatz verstehen.

I.A. klappt natürlich. I.S keine Ahnung.

Answer 1

gelöscht, Fülltext. Fülltext.

Answer 2

Aloha :)

Wir verwenden für beide Abschätzungen den binomischen Lehrsatz:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}$$Im Folgenden sei $n\ge2$. Zur Abschätzung nach unten lassen wir alle Summanden außer den ersten beiden für $k=0$ und $k=1$ weg. Das führt uns auf:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>\binom{n}{0}\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}\frac{1}{n}=1\cdot1+n\cdot\frac{1}{n}=1+1=2\implies\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2$$Das echte Größerzeichen gilt, weil wir wegen $n\ge2$ mindestens einen positiven Summanden weggelassen haben. Zur Abschätzung nach oben gehen wir wie folgt vor:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot1^k=\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}=1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$$$$\phantom{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=1+2-2\left(\frac{1}{2}\right)^n=3-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<3$$