Wie kann ich die Gültigkeit dieser Ungleichung zeigen?

Question

ich stehe gerade bei einer Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch.

Ich soll zeigen, dass Folgendes gilt:

$$(n+1)^E-n^E>E(n+1)^{E-1}$$

und habe darüber hinaus folgende Informationen gegeben:

Epsilon ist Element aus (0,1) und $$a_{n}=n^E\prod \limits_{k=0}^{n}(1-\frac{E}{k})$$

Ich habe schon versucht den Mittelwertsatz darauf anzuwenden und sowohl die linke Seite der Gleichung aus auch die rechte als Ableitung deklariert, hat aber nicht geklappt. Glaubt ihr das würde so überhaupt funktionieren?

Answer 1

Wo soll das \( a_n \) vorkommen oder hat das gar kein Bezug zur Aufgabe?

Comments

Sei \( f(x) = x^{\epsilon} \) dann ist \( f'(x) \) monoton fallend für \( x \ge 0 \) und \( \epsilon \in (0,1) \)

Nach dem Mittelwertsatz gilt $$ f(x+1) - f(x) = f'(\xi) $$ mit \( \xi \in (x, x+1) \), d.h. aber

$$ (x+1)^{\epsilon} - x^{\epsilon} = \epsilon \xi^{\epsilon-1} \ge \epsilon (x+1)^{\epsilon-1} $$

Answer 2

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