Chebycheff-Ungleichung

Question

Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Sei Z eine beliebige diskrete Zufallsvariable. Das Sammlerproblem wurde modelliert
durch X = X₁ + X₂ + . . . + X_n wobei die X₁ , . . . , X_n unabhängige Zufallsvariable
mit X_i ∼ Geo(p_i) mit p_i = (n−(i−1)) / n sind

Benutzen Sie, dass  ∑(∞, i=1)( 1 / i²) = π² / 6  und somit Var(X) ≤ n² · ∑(n, i=1)( 1 / i²) ≤ n² * (π² / 6)

Zeigen Sie mithilfe der Chebycheff-Ungleichung, dass

P (|X − EX| ≥ e · EX) −→ 0    ∀ ε > 0

d.h. die Verteilung von X = X₁ + X₂ + . . . + X_n konzentriert sich zunehmend
im Intervall ((1 − e )EX, (1 + e)EX).