Berechne arcustangens ohne Taschenrechner

Question

tan(x)=24/18

Und die lösung ist 0,927

Aber ich komme ums verrecken nicht ohne TR auf die lösung.

24/18 ist ja dasselbe wie 4/3

Und ich weiß aus meiner Tabelle das arctan(1/3)=0,322 ist aber damit komm ich auch nicht weit.

Weiss jemand wie man das geschickt lösen kann?

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(4%2F3)

Du könntest das pythagoräische Zahlentrippel 3,4,5 kennen.

Das würde aber heissen, dass du zu diesem Dreieck auch die Winkel kennen solltest.

Allenfalls kannst du mit der Taylorreihe etwas machen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan(a*b)

Andernfalls nochmals prüfen, ob deine Rechnung bis jetzt überhaupt stimmt oder einfach

x= arctan(4/3) als Resultat stehen lassen.

---

Kennst du diese Formel: https://www.mathelounge.de/201890/beweis-fur-den-arcustangens-arctan-x-arctan-y-arctan-x-y-1-xy

Damit könntest du vielleicht etwas machen in Kombination mit deiner Tabelle.

Answer 1

der Tangens ist unter anderem so auszurechnen:

$$\text{Tangens}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$$

Damit wird das Verhältnis der beiden Katheten klar.

Du kannst dir nun ein Dreieck zeichnen mit den der Ankathete = 3 und der Gegenkathete = 4

Den Winkel kannst du messen und dann, um ins Bogenmaß umzurechnen in die Formel einsetzten:

$$\frac{\alpha}{360°}\cdot 2\pi$$

Du musst ja 2π nicht ausrechnen, da es irrational ist. oder kürzt es einfach weg
EDIT: Ich hatte zuerst An und Gegenkathete vertauscht. Ist nun wieder richtig!
Gruß
Smitty

Answer 2

Vielleicht \(\arctan\frac43=\frac\pi2-2\arctan\frac13\).

Answer 3

Siehe auf Wikipedia "Kleinwinkelnäherungen". Ich erinnere mich noch gut als ich das auch mal machen musste. Die Kleinwinkelnäherung für \(arctan(x)\) ist:$$arctan(x)\approx \frac{x}{1+0.28x^2} \quad \text{|x|≤1}$$$$arctan(x)\approx \frac{\pi}{2}-\frac{x}{x^2+0.28} \quad \text{|x|>1}$$$$arctan(x)\approx -\frac{\pi}{2}-\frac{x}{x^2+0.28} \quad \text{|x|<-1}$$ Bei dir im Falle von  \(\frac{4}{3}\) ist \(x\) größer als 1 also benutzt du die mittlere Formel:$$arctan(x)\approx \frac{3.14}{2}-\frac{\frac{4}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^2+0.28}\approx 0.92205 $$ Das was du herausbekommst ist das Ergebnis in Radian (Bogenmaß), falls du das in das Gradmaß umrechnen willst nutze \(\alpha =\frac{360}{2\pi} \cdot \varphi \).Ich habe das zwar nicht im Kopf gemacht, könnte es aber! Das ist wahrscheinlich einer der einfachsten Wege.

Tipp: Rechne in Brüchen!