Berechnen Sie die Jordan’sche Normalform invertierbarer Matrix, wobei gilt A˜ = S^−1AS

Question

Aufgabe Lautet:

Berechnen Sie die Jordan’sche Normalform A˜ von A und eine invertierbare Matrix S ∈ R^5×5, sodass A˜ = S^−1*A*S gilt.
Hinweis: Es gilt CPA = (X − 1)^5

A=1/2*{{1,1,-1,-2,1},  {-2,2,0,-2,2}, {2,0,0,0,0},  {2,-2,0,4,0},{1,-1,-1,0,3}}

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2*%7B%7B1,1,-1,-2,1%7D,++%7B-2,2,0,-2,2%7D,+%7B2,0,0,0,0%7D,++%7B2,-2,0,4,0%7D,%7B1,-1,-1,0,3%7D%7D

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x__y = x mit indizes y

MP(X)=(x-1)^3

μa=3 (algebr. Vielfachh.)

Eig(A,1)=Kern(A-I__5)

=> v__x={{x__5-x__4},{x__5},{x__5-x__4},{x__4},{x__5}}

=> v__1={{1},{1},{1},{0},{1}}, v__2={{-1},{0},{-1},{1},{0}}

=> μg=5 (geom. Vielfachh.)

=> JNF=A˜=I__5 (Einheitsmatrix 5x5)

Wie berechne ich nun die S Matrix?

Answer 1

hatte was fasch,

=> μg=2 (geom. Vielfachh.)

=> JNF=A˜={{1,0,0,0,0},  {1,1,0,0,0}, {0,1,1,0,0},  {0,0,0,1,0},{0,0,0,1,1}}

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,0,0,0,0%7D,++%7B1,1,0,0,0%7D,+%7B0,1,1,0,0%7D,++%7B0,0,0,1,0%7D,%7B0,0,0,1,1%7D%7D