Taylorpolynom, Ableitungen

Question

Gegeben sei das Taylorpolynom von einer Funktion ƒ : ℝ → ℝ

T₃ (f, x, 2) = - 14/3 + 5x - (3/2)x² + (1/3)x³

Bestimmen Sie f (2), f ⁽²⁾ (2) und f ⁽³⁾ (2).

Answer 1

f(2) = a

f ' (2) =b

f ''(2) = c

f '''(2)= d

Bilde dann T3(f,x,2) = a + b*(x-2) + c/2 * (x-2)^2 + d/6 * (x-2)^3

Löse die Klammern auf und ordne.

Durch Koeffizientenvergleich mit dem gegebenen Polynom bestimmst du a,b,c und d.

 

Comments

Ich komme nicht drauf.

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a + b*(x-2) + c/2 * (x-2)^2 + d/6 * (x-2)^3

= (d/6)x^3 +(c/2-d)*x^2 +(b-2c+2d)*x+a-2b+2c-4d/3

also Gl.system

d/6 = 1/3

c/2-d=-3/2

b-2c+2d=5

a-2b+2c-4d/3=-14/3

aus der 1. folgt d=2 also ergeben die anderen 3:

c/2-2=-3/2    b-2c+4=5     a-2b+2c-8/3=-14/3

<=>  c/2=1/2    b-2c=1    a-2b+2c=-2

also c=1 in die 3. und 4. einsetzen:

b-2=1    a-2b+2=-2

<=> b=3     a-2b=-4

also aus der letzten a-6=-4

                                a=2

Damit hast du

f(2) = a=2

f ' (2) = b = 3

f ' ' (2) = c = 1

f ' ' ' (2) = d = 2.