Lineare Algebra mit Vektorberechnung

Question

Ich schreibe bald eine Matheklausur und habe folgende Aufgabe zum üben bekommen:

Der Eingang des berühmten Pariser Kunst-Museum "Louvre" wird durch eine Glas-Pyramide mit quadratischer Grundfläche gebildet: Die Breite beträgt ungefähr 35m und die Höhe 22m. Diese Pyramide wird jetzt in einem dreidimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem (mit den Längeneinheiten von jeweils 1m) betrachtet. Die Bodenfläche sei die x₁-x₂-Ebene und die x3-Achse sei lotrecht nach oben gerichtet. Das Koordinatensystem sei weiterhin so gewählt, dass die vier Eckpunkte auf dem Boden die folgenden Koordinaten haben:

A(0|0|0)  B(35|0|0)  C(35|35|0)  D(0|35|0)

a) Die Dachspitze sei S. Begründen Sie, dass S die folgenden Koordinaten hat: (17,5|17,5|22). Zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein. 1LE ^= 1m, der Verkürzungsfaktor in x1-Richtung beträgt 0,5 •√2 und der Winkel zwischen der x₁- und x₂-Achse ist 135° groß.

b) Bestimmen Sie den Winkel, den die Seitenflächen der Pyramide jeweils mit dem Fußboden bilden.

c) Um ein Angebot für die Fensterreinigung einzuholen, muss man den Flächeninhalt der Glasflächen berechnen. Berechnen Sie dazu zuerst den Flächeninhalt eines der vier (kongruenten) Seitendreiecke und dann die gesamte innen und außen zu reinigende Glasfläche.

d) Am Tage fällt bei schönem Wetter (paralleles) Sonnenlicht auf die Pyramide. Zum nun betrachten Zeitpunkt sei der Richtungsvektor vom Sonnenlicht →r= (x1: 15| x2: 10| x3: -10)

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes P der Pyramidenspitze auf dem Boden.

Answer 1

a) Der Fußpunkt F der Pyramidenhöhe ist der Diagonalenschnittpunkt der Grundflächenquadrates F(17,5|17,5|0) (elementare Geometrie). 22 m in x₃-Richtung darüber liegt S(17,5|17,5|22).

b) von jeder Seitenfläche sind jetzt 3 Punkte (z.b. A, B und S) bekannt. SA×SB ist ein Lotvektor auf der Seitenfläche ABS und bildet einen Winkel α mit dem Lotvektor auf der x₁x₂-Ebene. Der kleinere Winkel von  α und 180°- α ist der gesuchte.