Berechne den Winkel BDC (Viereck ABCD).

Question

Gegeben ist das Viereck ABCD. Es gilt:

AD = 12,4 cm

Flächeninhalt A_ABD = 138,9 cm²

BC = 30,4 cm

Winkel CBD = 60,8°

Berechne den Winkel BDC.

 

Answer 1

Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b gilt:

 A = a * b / 2

Vorliegend ist das Dreieck ABD rechtwinklig mit den Katheten d = AD = 12,4 cm und e = BD. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks soll A = 138,9 cm ² betragen. Es gilt also:

138,9 = d * e / 2

<=> e = 138,9 * 2 / 12,4

<=> e = 22,4 cm = BD

 

Mit Hilfe des Kosinussatzes findet man außerdem für die Länge der Seite CD = c :

c = √ ( b ² + e ² - 2 * b * e * cos ( 60,8 °) )

<=> c = √ ( 30,4 ² + 22,4 ² - 2 * 30,4 * 22,4 * cos ( 60,8 °) )

<=> c = 27,6 cm = CD

 

Und schließlich gilt für den gesuchten Winkel δ = BDC wiederum aufgrund des Kosinussatzes:

b ² = c ² + e ² - 2 * c * e * cos ( δ )

<=> cos ( δ ) = ( b ² - c ² - e ² ) / (  - 2 * c * e )

<=> cos ( δ ) = ( 30,4 ²- 27,6 ² - 22,4 ² ) / ( - 2 * 27,6 * 22,4 ) = 0,2744565...

<=> δ = arccos ( 0,2744565... )

<=> δ = 74,07 °