Parametrisierung in Kugelkoordinaten

Question

Aus der Kugel K mit Radius 3 und Mittelpunkt (0,0,3) wird ein Rotationsparaboloid B = (z>= x^2+y^2) herausgebohrt.

Parametrisieren Sie M in Kugelkoordinaten.

M = K \ B

Grundlegend weiß ich, dass ich bei der Kugel folgende gültige Gleichung habe: x^2+y^2+(z-3)^2=r^2 Aber danach bin ich ziemlich planlos, bzw. kann ich mit dem Rotationsparaboloid noch viel weniger anfangen.

Comments

Was bezeichnet denn M in dieser Aufgabe?

Und ein Rotationsparaboloid ist eine Normalparabel, die um die z-Achse rotiert. Sieht dann im Ansatz aus wie ein Ü-Ei, was nur hol ist.

---

Also ich hab mich mal an meinen bescheidenen Paintkünsten versucht und würde denken, dass es ungefähr so aussehen muss, wenn man das jetzt vereinfacht zweidimensional darstellt. Aber wie parametrisiere ich das jetzt am intelligentesten?

---

Zentrum sollte \((0,0,3)\) sein. \(\phi\) geht von \(0\) bis \(2\pi\), da wir um die \(z\)-Achse rotieren. Male einen vom Zentrum ausgehenden Strahl. \(\theta\) geht vom oberen Schnitt Parabel/Kugel bis nach unten (\(\pi\)). \(r\) geht vom Parabelpunkt bis zum Kugelpunkt (haengt von \(\theta\) ab).

Die Parametrisierung wird also so aussehen: $$0\le\phi\le2\pi$$ $$\theta_0\le\theta\le\pi$$ $$r_0(\theta)\le r\le3$$ Es bleibt also noch für Dich, \(\theta_0\) und \(r_0(\theta)\) auszurechnen.

Answer 1

Ich war neugierig über diese Aufgabe und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

So würde der Rest aussehen.

Und hier mit dem Paraboloiden(blau) und der Kugel(rot).

Wie ich vorgegangen bin.

Paraboloid in Koordinatenform:

$$ z=x^2+y^2 $$

Parameterform:

$$ \vec{f}=\begin{pmatrix}r\cdot cos(\phi)\\r\cdot sin(\phi) \\ r^2 \end{pmatrix} $$

Kugelkoordinaten:

$$ \vec{k}=\begin{pmatrix}r\cdot sin(\theta)\cdot cos(\phi)\\r\cdot sin(\theta)\cdot sin(\phi) \\ r\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} $$

Ein Querschnitt

Daraus kann man eine Geradengleichung aufstellen, die durch den Mittelpunkt der Kugel geht:

$$ g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \vec{k}$$

Damit will ich nun nur noch das Stück der rosanen Strecke bestimmen, genannt L, die immer zwischen Kugel und Paraboloiden liegt. Als Stützvektor wähle ich den Schnittpunkt der Geraden g mit dem Paraboloiden. Dafür wird g mit dem Ortvektor des Paraboloiden gleichgesetzt:

$$ \begin{pmatrix}0\\0\\3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix}r\cdot \sin(\theta)\cdot \cos(\phi)\\r\cdot \sin(\theta)\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\theta) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cdot \cos(\phi)\\r\cdot \sin(\phi) \\ r^2 \end{pmatrix} $$

Dann hat man:

$$\begin{aligned}&i\quad r\cdot \sin(\theta)\cos(\phi)\cdot \lambda\quad&&=r\cdot \cos(\phi) \\&ii \quad r\cdot \sin(\theta)\cdot \sin(\phi)\cdot \lambda&&=r\cdot \sin(\phi) \\  &iii \quad 3+r\cdot \cos(\theta)\cdot\lambda \quad &&=r^2 \end{aligned}$$

$$ \lambda=\frac{1}{sin(\theta)}. $$

Damit lässt sich mit iii r berechnen:

$$ 3+r\cdot\frac{cos(\theta)}{sin(\theta)}=r^2 \Rightarrow r=\frac{cot(\theta)+\sqrt{cot^2(\theta)+12}}{2}. $$

Nun muss der genaue Definitionsbereich für den Winkel θ gefunden werden. Aus der dritten Zeichnung ergibt sich dann:

$$ sin(\alpha)=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \alpha=arcsin(\frac{2}{3}) \Rightarrow \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha=\underline{\frac{\pi}{2}-arcsin(\frac{2}{3})}. $$

Also gilt nun insgesamt:

$$ \theta \in\Bigg[\frac{\pi}{2}-arcsin(\frac{2}{3}),\pi\Bigg] , \quad \phi\in]0,2\pi ] .$$

Jetzt bestimme ich das Stück rosane Strecke L, in Form einer Geraden mit neuem Richungsvektor, bestehend aus dem Ortsvektor vom Paraboloiden und der Kugel mit dem Mittelpunkt (0,0,3) und Radius r=3:

$$ L:\vec{x}=\begin{pmatrix}r\cdot cos(\phi)\\r\cdot sin(\phi) \\ r^2 \end{pmatrix}+\omega\cdot\ \begin{pmatrix} 3\cdot sin(\theta)\cdot cos(\phi)-r\cdot cos(\phi)\\3\cdot sin(\theta)\cdot sin(\phi)-r\cdot sin(\phi) \\ 3\cdot cos(\theta)+3-r^2\end{pmatrix} , \quad \omega \in [0,1].$$

Insgesamt hat man als Menge M also:

$$ M:=\Bigg\{\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R^3}: \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cdot cos(\phi)\\r\cdot sin(\phi) \\ r^2 \end{pmatrix}+\omega\cdot\ \begin{pmatrix} 3\cdot sin(\theta)\cdot cos(\phi)-r\cdot cos(\phi)\\3\cdot sin(\theta)\cdot sin(\phi)-r\cdot sin(\phi) \\ 3\cdot cos(\theta)+3-r^2\end{pmatrix}, \quad \omega \in [0,1],\quad\theta \in\Bigg[\frac{\pi}{2}-arcsin(\frac{2}{3}),\pi\Bigg] , \quad \phi\in]0,2\pi ], \\ r=\frac{cot(\theta)+\sqrt{cot^2(\theta)+12}}{2}\Bigg\}. $$

Menge_M.ggb (21 kb)