Aloha :)
zu a) Die Punktmenge$$S=\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2+z^2=4\,,\;z\le0\right\}$$ist die Oberfläche einer Halbkugel mir Radius \(r=2\), deren Mittelpunkt im Ursprung liegt und die unterhalb der \(xy\)-Ebene liegt (die \(xy\)-Ebene selbst wird berührt). Der Rand \(\partial S\) der Fläche ist der Kreis mit Radius \(r=2\), der genau in der \(xy\)-Ebene liegt.
zu b) Für die Parameterdarstellungen wählen wir Kugelkoordinaten:$$S\colon\;\;\;\vec r=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\sin\vartheta\\2\sin\varphi\sin\vartheta\\2\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[\frac\pi2\,;\,\pi\right]$$$$\partial S\colon\;\vec r=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
zu c) Zur Berechnung des Wegintegrals verwenden wir den Stokes'schen Satz.$$I=\int\limits_{\partial S}\begin{pmatrix}3z\\3x+y\\3x\end{pmatrix}\,d\vec r=\int\limits_{S}\operatorname{rot}\begin{pmatrix}3z\\3x+y\\3x\end{pmatrix}d\vec f=\int\limits_{S}\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}d\vec f$$Das Flächenelement in Kugelkoordinaten lautet$$d\vec f=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}R^2\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta\stackrel{(R=2)}{=}\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta\\\cos\vartheta\end{pmatrix}4\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta$$sodass wir das Integral nun wie folgt berechnen können$$I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\,\int\limits_{\vartheta=\frac\pi2}^{\pi}3\cdot\cos\vartheta\cdot 4\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta=12\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=\frac\pi2}^{\pi}\sin\vartheta\cos\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{I}=12\cdot2\pi\cdot\left[\frac12\sin^2\vartheta\right]_{\frac\pi2}^{\pi}=12\pi\left(0-(-1)^2\right)=-12\pi$$
