Chebyschev Ungleichung Erwartungswert und Varianz

Question

Bei der Chebyschevschen Ungleichung habe ich Probleme bei der Schreibeweise und bei der Lösung. Es liegt ein Erwartungswert von 300 und eine Varianz von 9 vor. Wie die Chebyschevsche Formel lautet weiß ich auch. In diesem Fall soll k so bestimmt werden, dass 96 Prozent der Werte in das Intervall [300-k; 300+k] fallen. Wie schreibe ich das aber jetzt auf?

Answer 1

Gesucht ist ein \( k \) für das gilt

\( P\{ 300-k < x < 300 + k \} \ge 0.96 \) also \( P\{ |x-300| < k \} \)

Die Tschebyscheff Ungleichung lautet

$$ P\{ |x-\mu| < k \} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{k^2} $$ Da \( \mu = 300 \) gilt, folgt

$$ P\{ |x-300| < k \} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{k^2} \ge 0.96 $$ und daraus folgt \( k \ge 15 \)