Ein Kreis und drei Sekanten teilen das Rechteck

Question

Ein Kreis und drei Sekanten teilen das Rechten in 13 Teilflächen.

Wie groß ist die maximal Anzahl von Teilflächen, die man erhalten kann, wenn man fünf Sekanten benutzt

Comments

Woher stammt diese Aufgabe?

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Vielleicht hilft das:

Wenn man eine zusätzliche Sekante einzeichnet

geht die durch maximal 4 Teilflächen, man hätte dann

also 17.

Und da dann wieder eine weitere Sekante durchzeichnen,

die teilt (mein Gefühl) höchstens 5 von den neuen

Teilflächen, kämen also 5 hinzu, das wären dann 22.

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geht die durch maximal 4 Teilflächen, man hätte dann

Ich denke 6.

Nimm eine Winkelhalbierende von 2 Geraden, dann geht die schon durch 5 Teilflächen. Verschiebt man diese parallel etwas können 6 getroffen werden.

Answer 1

Mit genau einer Sekante sind es 4 Teilflächen. Mit jeder weiteren Sekante werden \(x\) Teilflächen erneut geteilt. Es kommen also \(x\) Teilflächen hinzu. Und wenn durch die zusätzliche Sekante \(y\) neue Schnittpunkte enststehen, dann werden offensichtlich \(x=y+1\) Teilflächen durchschnitten. Sei \(n-1\) die Anzahl der bereits vorhandenen Sekanten, so können maximal \(n-1\) Schnittpunkte mit diesen Sekanten plus zwei Schnittpunkte mit dem Kreis neu hinzu kommen. Also ist

$$x = y + 1 = ((n-1) + 2) + 1 = n +2$$ Ist also \(a_n\) die Anzahl der Teilflächen bei \(n\) Sekanten, so gilt für die maximal mögliche Anzahl der Teilflächen

$$a_n = a_{n-1} + x = a_{n-1} + n +2$$ mit \(a_1=4\) wird dann $$\begin{aligned} a_1 &=4 \\ a_2 &= 4 + 4 = 8 \\ a_3 &= 8 + 5 = 13 \\ a_4 &= 13 + 6 = 19 \\ a_5 &= 19 + 7 = 26\end{aligned}$$ oder allgemein $$a_n = \frac{n}{2}(n+5) +1$$