Bild und Kern einer linearen Abbildung

Question

Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter wäre cool wenn jemand helfen könnte

Answer 1

Hallo

 im Bild liegt er wenn man die 2 gegebenen Bildvektoren linear zu ihm kombinieren kann.

im Kern liegt der Vektor, wenn es eine Linearkombination der 2 abgebildeten gibt, die ihn erzeugen.

Gruß lul

Comments

Diese Antwort ist falsch.

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Edit :  Ich korrigiere : Die Antwort ist doch richtig und zufällig sogar ausreichend, da die Umkehrung nicht benötigt wird.

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Danke für die Antwort. Also liegt der Vektor von a) im Bild von L.

Meinst du bei Aufgabe b) das es eine Linearkombination zwischen (1 -2 3) und (2 -1 1) geben muss die den Vektor erzeugen?

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Meine Korrektur bezog sich nur auf Teil a.

L.s Antwort zu b. bleibt weiterhin falsch.
Und obwohl die Aussage der Aufgabe, dass die Abbildung L duch ... definiert sei, falsch ist, lässt sich b dennoch beantworten.

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Okay gut, nur wie?

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Hallo

Gast hat (wie immer) leider recht  danke!

Gruß lul

Answer 2

Hallo droggelbecher,

a)

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 8\\-2\\-2\\6 \end{pmatrix} &= 2 \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\1 \end{pmatrix} \\\\&= 2 \cdot L \left( \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} \right) + 2 \cdot L \left( \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \right) \\\\ &= L \left( 2\begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \right) \in \operatorname{im} L \end{aligned} $$

b)

$$ \begin{aligned} L \left( \begin{pmatrix} 0\\-3\\5 \end{pmatrix} \right) &= L \left( 2 \begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \right) \\\\&= 2 \cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\1 \end{pmatrix} \\\\ &= \begin{pmatrix} -1\\1\\-2\\3 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Also

$$ \begin{pmatrix} 0\\-3\\5 \end{pmatrix} \notin \ker L $$