Zeigen Sie, dass für jedes n aus N gilt: (Binomialkoeffizient)

Question

wir müssen folgende Gleichheit für alle n aus den natürlichen Zahlen zeigen, wäre äußerst nett wenn mir jemand helfen könnte, denn mit Induktion habe ich es schon mehrmals versucht und bin nicht weitergekommen.

$$\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}=(-1)^n*4^n*\begin{pmatrix} -1/2\\n \end{pmatrix}$$

Comments

Kannst du mal eure Definition von ( -1/2 tief n) hinschreiben?

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Fuer alle \(\alpha\in\mathbb{C}\) und \(k\in\mathbb{N}\) ist $${\alpha\choose k}:=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-k+1)}{k!}.$$ Induktion ist nicht angezeigt. Rechne direkt.

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Du könntest dir zu nutze machen, dass

$$\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}^2}$$ und $$4^n= \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} 2n+1\\k \end{pmatrix}}$$

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Warum nicht noch $$ {(-1)}^{n} = \begin{pmatrix} -1\\n \end{pmatrix} $$

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Fakename hat geschrieben "rechne direkt".

Ansonsten zu 4^n z.B. https://www.mathelounge.de/487117/binomialkoeffizient-zeigen-dass-k-0-bis-n-2n-1-uber-k-2-2n

Die Formel von hj2166 lässt sich direkt über die Definition, die Fakename angegeben hat, bestätigen.

Answer 1

Induktion geht aber auch:

$$\begin{pmatrix} 2(n+1)\\n+1 \end{pmatrix} =$$

$$\begin{pmatrix} 2n+2\\n+1 \end{pmatrix} =$$

$$\begin{pmatrix} 2n+1\\n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =$$

$$\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =$$

$$2*\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =$$

$$2*\frac{2n+1}{n+1}*\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =$$

Jetzt die Ind. vor.

$$2*\frac{2n+1}{n+1}*(-1)^n * 4^n *\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\n \end{pmatrix} =$$

$$2*\frac{2n+1}{n+1}*(-1)^n * 4^n *\frac{n+1}{ \frac{-1}{2}-n} *\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\n+1 \end{pmatrix} =$$

Zusammenfassen und kürzen gibt in der Tat

$$(-1)^{n+1} * 4^{n+1} *\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\n+1 \end{pmatrix} =$$

Comments

aber wie sind wir dabei gekommen ?

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können sie vielleicht mehr ausführlich erklären , weil ich gerne verstehen möchte nicht nur die Antwort abschreibe :) _?

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Das war vertippt, sollte heißen:

$$2*\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =$$$$2*\frac{2n+1}{n+1}*\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} =$$

Nur dann macht das ja auch Sinn mit der Ind.vor.

Und das ist einfach die Formel

$$\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} =\frac{n}{k}*\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix} =$$

mit 2n+1 für n und n+1 für k.

siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Eigenschaften

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Na ja jetzt alles klar ,aber ich möchte noch diese Schritt verstehen :)

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Das ist auch so eine der Formeln, die sogar für

nicht ganzzahlige n gelten:

$$\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} =\frac{n-k+1}{k}*\begin{pmatrix} n\\k-1 \end{pmatrix} =$$

mit  -1/2  für n und  n+1 für  k und dann den

Bruch auf die andere Seite der Gleichung bringen.

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aber in Ihrer Gleichung steht n für K !

ich glaube es gibt einen Fehler in dieser Formel :)