Vektorfeld Quellen frei, konservativ

Question

Berechen für fixes v∈ℝ³ , λ∈(0,∞) die rotation und die divergenz der Vektorfelder:

a.) f:ℝ³ →ℝ³ , f(x) = ||x||^λ x

b.) g:ℝ³ →ℝ³ , g(x) = v×x

Bestimmen Sie v∈ℝ³ , λ∈(0,∞) damit die Vektorfelder f und g Quellenfrei und wirbelfrei sind.

Meine Idee:

a.) Ich verstehe nicht, die Funktion ist in ℝ³ , es wird aber nur die x Gleichung angegeben, bedeutet das das Vektorfeld sieht so aus ?

$$ f(x,y,z) = \begin{pmatrix} ||x||^\lambda x\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$

Aber dann wäre es offensichtlich das, f Quellenfrei und Wirbelfrei ist.

b.) Versteh ich auch nich, x ist ja kein Vektor mit x y z koordinaten ? oder doch ?

Soll ichs dann so rechen:

$$ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}  \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}  $$

Answer 1

Hallo Katreena,

ich schreibe \(\vec{v}\) = [u, v, w]   und   \(\vec{x}\) = [x, y, z]

f( \(\vec{x}\))  =  √(x₁² + x₂² + x₃²)^λ · [x₁, x₂, x₃]

div(f) = (λ + 3) · (x₁² + x₂² + x₃²)^λ/2

rot(f) = [0, 0, 0]   (f ist für beliebige λ wirbelfrei)

f ist also für λ = -3  quellen- und wirbelfrei.

g(\(\vec{x}\))  =  [v₁ , v₂ , v₃] ⨯ [x₁ , x₂ , x₃]  =  [v₂·x₃ - v₃·x₂ , v₃·x₁ - v₁·x₃ , v₁·x₂ - v₂·x₁]

div(g) = 0  (g ist also für beliebige  \(\vec{v}\)  quellenfrei)

rot(g) = [2·v₁ , 2·v₂ , 2·v₃]

g ist also  für  \(\vec{v}\) =  \(\vec{0}\)  quellen- und wirbelfrei.

Gruß Wolfgang

Answer 2

da steht f: R^3 --> R^3 , also ist das Argument x ein 3er Vektor, auch das Ergebnis ist wieder ein 3er Vektor. In der Mathematik wird aus Bequemlichkeit meistens der Vektorpfeil weggelassen.  Man hat also x=(x,y,z) oder besser x=(x_(1),x_(2),x_(3)), damit x keine Doppelbedeutung hat.

Dann ergibt sich also:

$$f(x)=||x||^λ x =(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} )^{\lambda}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\\ g(x)=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}  \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=...$$

Answer 3

  Unser genialer Assistent   Wolf Groß hat uns die ganzen Produktregeln  " gelernt  "  ; schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator

  In Aufgabe a) schreibe ich "  r  "    für  "  r  Betrag  "  und führe den Einheitsvektor e_r ein .

  div [ r ^ ( k + 1 ) e_r ] =       (  1a  )

  = r ^ ( k + 1 ) div ( e_r ) + < e_r | grad r ^ ( k + 1 ) >   ( 1b )

   Hier die Umrechnung in Kugelkoordinaten; schau mal im Bronstein nach.

http://www.agnld.uni-potsdam.de/~frank/nabla.pdf

   Demnach hast du im ersten Term in T1 in ( 1b ) zu bilden

  T1 = r ^ ( k + 1 ) * ( 1 / r ² ) ( d/dr ) ( r ² )  =     (  1c  )

      =  2  r  ^   k     (  1d  )

   T2  =  (  k  +  1  )  r  ^  k       (  2a  )

    Summa summarum ergibt sich demnach

    div  =  (  k  +  3  )  r  ^  k    (  2b  )

    Also k = (   -  3  )  Ist das plausibel? Ja; denn für die Potenz  r  ^ (  -  2  )  (  Coulombfeld ) ergibt sich Quellenfreiheit.

   rot [ r ^ ( k + 1 ) e_r ] =        (  3a  )

 = r ^ ( k + 1 ) rot ( e_r ) - e_r X grad r ^ ( k + 1 )   ( 3b )

    Der zweite Term fällt in jedem Falle weg,  da e_r und der Gradient gleiche Richtung haben.  Aber auch der erste Term verschwindet  iNdentisch, weil er nur Ableitungen der ( konstanten ) Komponente  e_r  nach den beiden Polarwinkeln enthält.    Also Null .

Comments

Kann man das nicht auch ohne Kugelkoordinaten rechnen ? weil wir das noch nie so gemacht haben, und da fragt mich eventuell nur mein Übungsleiter, warum ich das so gerechnet habe.

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  Weißt du, wo ich echt jedesmal einen dicken Hals kriege?

   Ich meine diese Abschreiberlinge. Da gibt es jenes Portal; nennen wir es mal  " Pipapo  "  Doch ohne Witz; ich wurde schon von den Moderatoren massiv bedroht

   " Sag mal Habakuk; willst du es ernsthaft darauf anlegen? "

  Weil die Nennung des wahren Namens jenes Portals ist hier ein absolutes Tabu ähnlich der Nennung des Namens Gottes  " Jhwh "  in der jüdischen   Liturgie.

   Als  ===>  Rationalisierung ganz im Sinne von Freuds  ===>  Psychoanalyse  wird diese tabuisierende Haltung damit begründet, die Erwähnung jenes Namens stelle " Schleichwerbung " dar -   wo doch besagtes Portal längst verschrottet ist ...

   Na egal; sagen wir also Pipapo.  Bei Pipapo lief es also so ab; die Schüler posteten da ganz  ungeniert ijre Hausaufgaben.  Ich hal auch  nach Kräften und wirklich gerne.  Ich meine es wörtlich, wenn ich sage: Ich bin einfach zu gut für diese Welt.

    Bis  sich  diese Schüler verquatschten.  Weil die konnten mich ja net erpressen so wie  den Klassenprimus, dem man Prügel androht,  wenn er einen nicht abschreiben lässt  .

   Ich erfuhr also, dass diese Schüler ( zu Mindest subjektiv )  das Gefühl hatten, etwas Unerlaubtes zu tun. Ihr Mathelehrer habe ihnen verboten, Aufgaben im Internet abzupinnen ( Zu Mindest bei Schulaufgaben finde ich das unlogisch;  erwartet wird, dass du die Aufgaben nicht alleine, sondern nach dem Essen zusammen mit deinen Freundinnen erledigst.  In der Ganztagsschule müssen dir sogar die Lehrer helfen;   und bei uns wurde absolut niemand bestraft, der zugab, Pappi habe ihm unter die Arme gegriffen. )

    Also was soll bitte daran verboten sein, wenn dir das Imternet hilft?

   Aber dann zeichnete sich etwas anderes ab; bei Pipapo bekam ich nämlich folgenden sehr freundlich gemeinten Kommentar:

   " Sag mal bist du bescheuert? Hältst du uns etwa für Bekloppt? Meinst du nicht, dass wir längst begriffen haben, dass deine Lösungsvorschläge hundert Mal besser sind als das Gesülze von unserem Schrat? 

   Aber wenn ich doch etwas benutze, was der nicht kennt - gar nicht kennen kann, WEIL JA DU DER ENTDECKER BIST - DANN MERKT DER DOCH, DASS  ICH MEINE AUFGABEN IM INTERNET ABPINNE ... "

   Du es gibt da einen Mädchenwitz -  weil Jungs reagieren i.A. wohl nicht so.  Der geht so:

   " Moni ich hab jetzt keine Zeit zum Spielen. Weil sonst macht mir mein Vati die Hausaufgaben nicht ... "

    Ich schätze mal, 99 % von euch sind ===> autoritär.

  " Ich SOLL irgendwas tun ( Gemeint: Freiwillig würde ich gar nichts tun. )

   Der Herr Lehrer sagt, ich DARF das nur so und so machen. "

    Ich will hier mal eine typisch weibliche  Sprachfigur benutzen;  die " zu_schade_Rhetorik "   Vielleicht verstehst du mich dann etwas besser:

   " Mich den metodischen Forderungen deines Lehrers / Assistenten / Professors zu unterwerfen - dazu bin ich mir einfach ZU SCHADE . "

  Schon in der Schule habe ich es nicht getan und dann später im Studium erst recht nicht; und jetzt kommst ausgerechnet du des Wwges ...

   Aber ich will dir mal beichten, was ich von diesen offiziellen Komikern halte. In der Sexta hatten wir rolf Thierbach. Ich weiß jetzt nicht, ob ich den Nammen der sekte veröffentlichen darf, wo der drin war - ansonsten frag halt nochmal.

    Dem seine Sekte glaubte an " POSITIVES Denken " mit  dem Ergebnis, dass wir in Kl. 8 , wo die NEGATIVEN Zahlen längst auf dem Lehrplan stehen,  sie immer noch nicht durchgenommen hatten.

   In der Sexta hatten wir in einer Klausur zu rechnen

     13 - 40 + 115

    Etwa 30 von 36 Schülern rechneten

   13 - 40 = ( - 27 ) ; + 115 = 88

   Ist ja auch nicht tragisch; dieses intuitive Vorverständnis führt ja nie zu falschen Ergebnissen. Thierbach jedoch zögerte keinen Augenblick, ( immerhin die Mehrheit ! ) der Klasse als  " Spinner "  zu apostrophieren.

   " Ja was sollen wir denn tun? "

   Wir hätten erkennen müssen, dass man rechnen solle

   13 + 115 = 128 ; - 40 = 88

  ( Denn wenn du eine negative Zahl hast, fällst du über den Rand der Erdscheibe ... )

   Es liegt einfach an dir, wie viel Iniative und Zivilcourage du mitbringst. Als ICH Student war, habe ich mich immerhin für Kugelkoordinaten intressiert;  aber ich war ja auch nur ein popeliger Physiker ... Sowas ließe sich durchaus geschickt verkaufen - aber nur, wenn du Bücher gelesen zu haben vorgibst, wo Kugelkoordinaten drin sind.

   Es geht aber auch anders;   so könntest du ihm etwa weis machen, deine Freundin von der physikalischen Feldpostnummer hat dir die Formeln aus dem Bronstein gezeigt; und darauf hin hast du im Internet nachgesehen ...

   Aktion ===> Lorzzing

   " Auch ich war ein Jüngling mit  lockigem Haar. "

   Ich meine das so: Als Student habe ich durchaus mal meine Kräfte daran versucht, die ganzen Transformationsformeln aus dem Bronstein zu beweisen.  Aber kein normaler Mensch macht sowas; das ist echt Gebrauchsliteratur

  " Man muss nicht alles wissen; man muss nur wissen, wo es steht. "

   sagte mein Chef immer.

   So spannend ich Aufgaben mit Hochschulniveau finde.

   Für die Schüler, die um die nächste Versetzung bangen, empfinde ich immerhin noch ein gutes Herz.

   Aber ein Student, der sich freiwillig für Matematik entschieden hat aus Neigung -   ein Mathestudent, der uns hilflos  seine Aufgaben unterbreitet. gleicht der nicht eigentlich " dem Hund, den man zur Jagd tragen muss? "

  ===>  Elvis Presley  ( " Erwin Pressluft "  )  hör dir mal den Song an "  Hound Dog "

  "  You ain ' t nothing / But a hound dog

     Crying all time

    You ain ' t never caught a rabbit

    And you ain ' t no friend of mine. "

   Ich rede jetzt schonungslos offen; noch nie habe ich abgeschrieben.  Und hätte es zu meiner Zeit schon Matelounge gegeben; keine einzige Frage hätte ich euch gestellt.

  Tu ich übrigens heut noch nicht ...

   Ach übrigens; was hältst du von  ===>  Inklusion?

  Ich bin der Knabe, der im Glashaus sitzt.

   Ich verdanke  ihr schlechthin alles; mein bester Freund " Gert " war Autist extremster Sorte.  Und wo wäre ich heute ohne ihn?

   Den Kontakt hielt ich noch bis Kl. 10. Und eines Tages eben   wollte ich ihn mittags vom  " Brettergymnasium "  abholen.  Und da kam ich ins Gespräch mit so einem der Sonderschüler;   hier seine Worte

   " Alle Welt sagt immer, wir, die Blöden.

   Dabei haben wir welche, die können drei 12-stellige Zahlen im Kopf multiplizieren in Sekundenbruchteilen. Du das ist dann richtig peinlich für den Herrn Lehrer ...

   Aber wenn man den Knaben dann an die Tafel bittet, er soll das Wort ' Rot ' an die Tafel schreiben. Dann steht der kurz vorm Nervenzusammenbruch, weil der doch nicht weiß, ob man Rot mit zwei ' T '  schreibt oder mit drei ...

   Was; Gymnasiast willst du sein?  VOR EUCH HABE ICH SOWIESO KEINEN RESPEKT .

   Alle sonderschüler machen 100 % ihre Hausaufgaben.

   Weil wir nämlich VERSTANDEN HABEN,  DASS AUFGABEN FÜR UND WICHTIG SIND .

   Ich kenne keinen Gymnasiasten, der wüsste, für wen er lernt - du etwa?

    Ihr Gymnasiasten seid doch alle nix weiter  als Para siten.  Ihr messt euch nämlich das Recht zu, in der Klausur fremde Leistungen abzupinnen.

   Und noch etwas. Kein Gymnasiast hat je mehr getan, als er unbedingt musste. Diese Verweigerungshaltung ist so typisch für Gymnasiasten, dass ihr euch sogar ein Schimpfwort ausgedacht habt für diejenigen Ausnahmekreaturen, die es trotzdem tun: STREBER . "

   Aber will ich mal versöhnlich schließen. Mit einer Anekdote über jenes eingangs erwähnte Genie Wolf Groß.

   ===>  Werner Martienssen wusste nämlich, wo uns der Schuh drückt; in Ferienkursen während der Semesterferien sollten seine Assistenten unsere Wissenslücken schließen. Un nd dieser Groß nun präsentierte sich als Fachmann für Nabla; ich entschied mich spontan für seinen Kurs. Hier seine denkwürdigen Worte

   " Es ist ja   gar nicht an dem, dass div(rot)  = 0 .  Das braucht man fast nie.

   In 99 % der Fälle schließt man doch genau andersrum; WEIL  div ( B )  = 0  , deshalb gibt es ein Stammpotenzial A mit B = rot ( A ) 

   Für Matematiker, solche, die es werden wollen und solche, die behaupten, welche zu sein:

  Meine Damen und Herren; das ist eine EXISTENZbehauptung, für welche Sie den EXISTENZbeweis anzutreten haben. "

   Es gibt nun ein Ganglion im Stammhirn, die ===> Amygdala.    Dir mitzuteilen, werr die entdeckt hat, wurde mir wieder von den Moderatoren ausdrücklich untersagt; ich muss dich daher an Wiki verweisen.

  diese Amygdala befähigt dich, emotional gefärbte Bauchreaktionen bei deinen Mitmenschen im Voraus richtig einzuschätzen.

   Also meine Mygdala ist jeden Falls top fit. Ich hab mir ja einen Ast gelacht, weil sich zwischen Groß und der Gruppe genau jener Schlagabtausch ereignet hatte, den ich voraus geahnt hatte.

   Jetzt nicht weiter lesen;  erst raten. Bei deiner Menschenkenntnis und als Matematikerin - was glaubst du, was passiert?

    Zwischenrufe aus der Gruppe

   " Und? Wie würden SIE es denn beweisen? "

   ( diese Neigung, die Schuld immer bei anderen zu suchen, die genau hier ein Eigentor ergibt; Groß )

   " Weso ICH?  Was wollen  Sie denn von MIR??? Keine Ahnung.

   Im Ernst; ich habe mich bemüht. Bis Heute habe ich es nicht  gefunden.

   aber never mind;  was ich Ihnen vorhalte. Nicht von Selber ohne mein Zutun auf das Erfordernis dieses Beweises gekommen zu sein ... "