Wie löse ich diese Gleichung sin(x+pi/4)=-0,5?

Question

Ich brauche bei dieser Aufgabe hilfe.

sin(x+pi/4) = -0,5 , x€[0;2pi[

Ich habe es jetzt allgemein gelöst :

u : = x + pi/4

sin(u) = -0,5

u1 = -pi/6 +- 2k*pi

u2 = pi -(-pi/6) +-2k*pi = 7pi/6 + 2k*pi

Rücksub:

-pi/6 + - 2k*pi = x + pi/4

-4pi/6 +- 8k*pi = 4x + pi

-5pi/3 + - 8k*pi = 4x

-5pi/12 + - 2k*pi = x1

-7pi/6 + - 2k*pi = x + pi/4

-28pi/6 + - 8k*pi = 4x + pi

-17pi/3 + - 8k*pi = 4x

-17pi/12 + - 2k*pi = x2

Jetzt weiß ich aber nicht wie ich die Lösungen im Intervall finde, hab ich leider doch nicht verstanden.

Wäre nett wenn jemand diese Aufgabe lösen könnte und zeigen wie man so eine Aufgabe löst, vorallem wie die Probe funktioniert.

Danke.

Comments

Hier einmal eine Skizze.
Die Funktion sin(x+pi/4) ist eine
nach links verschobene normale sin ( x )
Funktion.

Man kann auch berechnen : wann ist
sin(x) = -0.5 und dann den Wert um
PI/4 nach links verschieben.

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Ich weiß, dass es zwei Lösungen gibt für x€[0;2pi[, aber wie ermittele ich sie wenn ich es für x€IR auftstelle und vorallem wie mache ich die Probe?

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Im Bereich x € [0;6.28[
gibt es 2 Lösungen
x = 4.97
und
x = 2.87

Eine Probe macht man indem man den
gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung
einsetzt.

sin ( 2.87 + pi/4 ) = sin ( 3.66 ) = -0.5
sin ( 4.97 + pi/4 ) = sin ( 5.76 ) = -0.5

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Das hat mir schon geholfen! Aber wie mache ich die Probe wenn ich es allgemein auftstelle? Ich meine was ist wenn ich einen Fehler bei der Umformung habe? Wie bemerke ich ihn?

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Ich weiß zwar nicht was du mit " allgemein
aufstelle " meinst ?
Wehh du eine Rechnung nur mit Buchstaben
und nicht mit konkreten Werten hast
funktioniert die Probe genau so.

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Also wenn ich x€IR habe und kein Intervall, weil mein x1 ist richtig, aber x2 nicht.

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In der Skizze sieht du das sich die Lösungen
mit der Periodenlänge 2π wiederholen.

4.97 * 0 * 2π
4.97 * 1 * 2π
4.97 * -1 * 2π
4.97 * 2 * 2π
4.97 * -2 * 2π
x = 4.97 + k * 2π   k ∈ ℤ
für
x = 2.87
dasselbe.

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Ok und was passiert wenn du dich mal verrechnest? Wie merkst du das? Also für x€IR für das Intervall habe ich jetzt verstanden.

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Ok und was passiert wenn du dich mal verrechnest? Wie merkst du das?

Ein Funktionsplotter sollte zur Grundausstattung jedes Schülers zählen.

weiterhin kann man die Lösungen mit einer Probe verifizieren. Das ist zar keine Garantie, dass man alle Lösungen hat, aber zumindest das die, die man hat richtig sind.

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Das verstehe ich ja, aber wie mache ich die Probe für den allgemeinen Fall?

Bsp : 17pi/6 + - 2k*pi

Das wird wahrscheinlich nicht stimmen, möchte aber prüfen ob dies stimmt. Einfach in sin(...) einsetzen nur halt ohne k?

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Nimm für k einmal 0 und einmal 1. Dann sollten beide Lösungen stimmen.

Answer 1

SIN(x + pi/4) = -0.5 ; x ∈ [0; 2·pi]
x + pi/4 = SIN^{-1}(-0.5)
x + pi/4 = - pi/6 + k·2·pi ∨ x + pi/4 = pi - (- pi/6) + k·2·pi
x = - 5/12·pi + k·2·pi ∨ x = 11/12·pi + k·2·pi
x = 19/12·pi + k·2·pi ∨ x = 11/12·pi + k·2·pi

Comments

Puh. Kannst du mir bitte sagen wo ich einen Fehler gemacht habe?

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-7pi/6 + - 2k*pi = x + pi/4

Ich glaube da ist ein Vorzeichenfehler.

Weiterhin rechnest du ziemlich ungeschickt. Ich weiß nicht ganz warum. Und du schreibst es auch etwas unzweckmäßig auf.

Z.B.

± 2*k*pi ist unnötig wenn k ∈ ℤ ist oder? Also einfach + 2*k*pi

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Aber wie decke ich dann die negativen Lösungen ab? Und wie löse ich den diese Aufgabe für x€IR geschickt?

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Und wie löse ich den diese Aufgabe für x€IR geschickt?

Ich habe es oben für x ∈ ℝ bereits gemacht. Lass das + k·2·pi einfach dahinter stehen.

Du erhältst immer 2 Grundlösungen und darüber hinaus über k ∈ ℤ alle weiteren Lösungen. Natürlich auch negative.

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Ich denke jetzt habe ich es verstanden. Ich danke dir!

Answer 2

Du musst nur schauen, ob deine Lösungen , x€[0;2pi[ erfüllen

-5pi/12 +  2k*pi  tut es nur für k=1

und

-17pi/12 +  2k*pi  auch nur für k=1

Comments

Kann man das auch so lösen?

sin(x+π/4)=-0,5

arcsin(-0,5)=x+π/4

x=arcsin(-0,5)-π/4

Und jetzt einfach +2π, wenn man die Probe macht

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@Smitty

Ich hab x1 probiert und es lief gut, aber x2 wird zu 0,5 und nicht -0,5.

@mathef

Ich kann leider grade nichts nachvollziehen. Wie funktioniert die Probe um zu prüfen ob die Lösungen stimmen und wie wenn ich es allgemein aufstelle?

Kann ich es allgemein aufstellen und dann für k Werte einsetzen und schauen was rauskommt?