Die Frage, für welchen Parameter \(t\) die drei Vektoren \[\begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}\] linear abhängig sind, ist nach Defintion von linearer Unabhängigkeit äquivalent zur Frage, für welchen Parameter \(t\) die Gleichung \[\lambda_{1} \begin{bmatrix} 2 \\ t \\ 3 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} + \lambda_3 \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 5 \\ 8 \end{bmatrix}\] bzgl. \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) eindeutig lösbar ist. Das entsprechende Gleichungssystem kann man nun mit elementaren Umformungen in Zeilenstufenform bringen, so dass man dann ablesen kann, wann das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Ansonsten könnte man auch wissen, dass das entsprechende lineare Gleichungssystem genau dann nicht eindeutig lösbar ist, wenn \[\det\left(\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ t & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 8 \end{bmatrix}\right) = 0\] ist.
\[\begin{aligned}&\det\left(\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ t & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 8 \end{bmatrix}\right) = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad 2\cdot 6\cdot 8 + 1\cdot 5\cdot 3 + (-2)\cdot t \cdot 1 - 3\cdot 6\cdot (-2)-1\cdot 5\cdot 2-8\cdot t\cdot 1 = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad 96 + 15 - 2 t + 36 - 10 - 8 t = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad - 10 t + 137 = 0 \\ &\Longleftrightarrow \quad - 10 t = -137 \\ &\Longleftrightarrow \quad t = \frac{137}{10} \end{aligned}\]
