1. Ist gn für jedes n eine stetige Funktion?
Ja. Einziges Problem wäre die Stelle x=1/n, aber dort ist der Grenzwert
für x gegen 1/n gleich dem Funktionswert, nämlich beides 0.
2. Berechnen Sie die Grezfunktion g(x):= limn→∞ gn(x) mit x∈ℝ. Ist diese stetig?
g(x) = 1 für x=0 und g(x)=0 sonst.
ist also nicht stetig.
3. Ist die Konvergenz der Funktionenfolge (gn) gleichmäßig? Nein; denn jede
gleichmäßig konvergente Funktionenfolge stetiger Funktionen konvergiert gegen
eine stetige Grenzfunktion. Kannst du aber auch unmittelbar zeigen:
Wenn du betrachtest Supremum aller |fn(x)-f(x) | für x≥0, dann ist
das gleich 1; denn für jedes n gibt es ja x-Werte zwischen 1/n und 0.
