Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \),

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin (2 \pi x)+3 & \text { für } x<1, \\ x^{3}-1 & \text { für } x \geq 1, \end{array}\right. \)

auf Stetigkeit, d.h., untersuchen Sie, in welchen Punkten \( f \) stetig ist und in welchen Punkten \( f \) unstetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht wirklich voran und wäre deshalb für jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Dass Polynomfunktionen stetig sind, kannst du voraussetzen, ebenso die Stetigkeit der Sinus-Funktion. Die interessante Stelle ist hier \(x_0=1\), bei der zwei unterschiedliche Funktionen aufeinander treffen.

Damit eine Funktion an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert beide gleich dem Funktionswert \(f(x_0)\) an der Stelle \(x_0\) sein.

Beim rechtsseitgen Grenzwert ist \(x>1\), sodass der zweite Fall in der Definition zutrifft:$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}\left(x^3-1\right)=1^3-1=0$$Für die Bestimmung des Funktionswerte an der Stelle \(x_0=1\) müssen wir ebenfalls den zweiten Fall in der Definition heranziehen:$$f(1)=1^3-1=0$$Für den linksseitigen Grenzwert ist \(x<1\), sodass nun der erste Fall der Definition zutrifft:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}\left(\sin(2\pi x)+3\right)=\sin(2\pi\cdot1)+3=3$$

Der linksseitige Grenzwert ist also nicht gleich dem Funktionswert, sodass die Funktion an der Stelle \(x_0=1\) nicht stetig ist.

~plot~ (sin(2pi*x)+3)*(x<1) ; (x^3-1)*(x>=1) ; {1|0} ; {1|3} ; [[-1|3|0|5]] ~plot~

Answer 2

Hallo

beide Funktionen  sind in ihrem Definitionsgebiet stetig, das musst du nicht zeigen, also untersuche nur den Punkt x=1 damit die fit, da stetig ist muß der GW der oberen gegen 1 gleich dem Wert der unteren Fkt bei 1 sein.

Gruß lul