Stetigkeit mit x0=0 untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie die folgende Funktion auf Stetigkeit in x0 = 0:

$$ f: \mathbb R \ \left\{ -1\right\}  -> \mathbb R, f(x) := \left\{x \neq 0  ==> \frac{1}{|x|}  \left(\frac{1}{x+1}-1 \right) ^{2}; x = 0 ==> 0\right\} $$

Problem/Ansatz:

Wie löse ich die Aufgabe?

Answer 1

Wir untersuchen ob der Funktionsgrenzwert von f im Nullpunkt gleich dem Funktionswert f(0) ist. Für \( x \neq 0\) gilt:

$$f(x)=\frac{1}{|x|}\left(\frac{1-(x+1)}{x+1}\right)^2=\frac{1}{|x|}\left(\frac{-x}{x+1}\right)^2=\frac{|x|}{(x+1)^2}$$

Jetzt können wir den Funktionsgrenwert ablesen:

$$\lim_{x \to 0} f(x)=0=f(0)$$