Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollte eine Gleichung falsch sein, ...

Question

Aufgabe:

das 8.Beispiel bitte!

Text erkannt:

Aufgabe 2.3.5. Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichunge gelten. Sollte eine Gleichung falsch sein, so stellen Sie die rechte Seit richtig:
1. \( \sum \limits_{i=1}^{5} a_{i}=\sum \limits_{j=3}^{7} a_{j-2} \)
5. \( \sum \limits_{j=1}^{n} c_{3 j-1}=\sum \limits_{i=0}^{n-1} c_{3 j+2} \)
2. \( \sum \limits_{k=1}^{n} p_{2 k-1}=\sum \limits_{j=-n+1}^{0} p_{-1-2 j} \)
6. \( \sum \limits_{j=0}^{n} k^{2 j}=\sum \limits_{r=0}^{2 n} k^{r}-\sum \limits_{s=0}^{n} k^{2 s+1} \)
3. \( \sum \limits_{t \in\{9,16,25,36,49\}} m_{t}^{j}=\sum \limits_{p=2}^{6} m_{i}^{(p+1)^{2}} \)
7. \( \log \prod \limits_{i=0}^{n} 3^{a_{i}}=\log 3 \sum \limits_{j=0}^{n} a_{j} \)
4. \( \sum \limits_{k=0}^{n} b_{2 k}=\sum \limits_{j=0}^{2 n} \frac{(-1)^{j}+1}{2} b_{j} \)
8. \( \sum \limits_{k=0}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} a^{j} b^{k-j}=\sum \limits_{j=0}^{n} \sum \limits_{k=j}^{n} a^{j} b^{k-j} \)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} a^{j} b^{k-j}=\sum \limits_{j=0}^{n} \sum \limits_{k=j}^{n} a^{j} b^{k-j} \)
\( \sum \limits_{k=0}^{n} a^{0} b^{k}+a^{1} b^{k-1}+a^{2} b^{k-2}+\ldots+a^{k-1} b^{1}+a^{k} b^{0}=\sum \limits_{j=0}^{n} a^{j} b^{0}+a^{j} b^{1}+a^{j} b^{2}+\ldots+a^{j} b^{-j-j}+a^{j} b^{n-j} \)
\( \rightarrow=b^{0}+a b^{-j}+a^{2} b^{0}+\ldots+a^{n-2} b+a^{n}=a^{0}+a^{1} b+a^{2} b^{2}+\ldots+a^{n-1} b^{0}+a^{n} b^{0} \)
\( =1+a+a^{2}+\ldots+a^{n-2} b+a^{n}=1+a b+a^{2} b^{2}+\ldots+a^{n-1}+a^{n} \)

Ich weiß, dass die richtige Antwort irgendwie "richtig" sein soll. Aber verstehe gar nicht, wie ich dazu kommen kann.

LG

Answer 1

\(\sum \limits_{k=0}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} a^{j} b^{k-j}=\sum \limits_{j=0}^{n} \sum \limits_{k=j}^{n} a^{j} b^{k-j} \)

Ich würde mir das mal erst mit der Notation der Summanden vorstellen:

linke Summe:

\(\sum \limits_{k=0}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} a^{j} b^{k-j} \)

Schrittweise die äußere Summe betrachten

für k=0      also nur ein Summand  a^{0} b^{0}
für k=1      2 Summanden a^{0} b^{1} +  a^{1} b^{0}
für k=2      3 Summanden a^{0} b^{2} +  a^{1} b^{1}+  a^{2} b^{0}
.........
für k=n     (n+1) Summanden a^{0} b^{n} +  a^{1} b^{n-1}+...+  a^{n} b^{0}

Jetzt die rechte Summe

\( =\sum \limits_{j=0}^{n} \sum \limits_{k=j}^{n} a^{j} b^{k-j} \)

Wieder schrittweise die äußere Summe betrachten
für j=0  also läuft in der inneren Summe das k von 0 bis n
         (n+1) Summanden a^{0} b^{0} +  a^{0} b^{1}+...+  a^{0} b^{n}
für j=1    läuft in der inneren Summe das k von 1 bis n  
              n Summanden a^{1} b^{0} +  a^{1} b^{1}+...+  a^{1} b^{n-1}

für j=n-1       Summanden a^{n-1} b^{0} +  a^{n-1} b^{1}
.........
für k=n         1 Summand   a^{n} b^{0} 

Wenn du nun beides vergleichst:

Alle bei dieser Aufteilung entstandenen 1. Summanden

von der linken Summe bilden bei der rechten Summe, die

Summe für j=0, und oben die zweiten bilden bei rechten Summe die

zweite Summe der Aufteilung etc.