Summe (m+1)/(2^m) berechnen

Question

Wie berechnet man die Summe \(\sum \limits_{m=0}^{\infty}\frac{m+1}{2^m}\)?

Answer 1

Benutze die Summenformel für die geometrische Reihe.

Comments

Im Zähler steht ein \(a_0\). Setzt man dafür m+1 ein und für m=1? Dann wäre es \(\frac{2}{1-0,5}=4\).

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Ohne Induktion :

\( \sum\limits_{m=0}^{\infty}{\frac{m+1}{2^m}} \)
= \( \sum\limits_{m=0}^{\infty}\sum\limits_{n=0}^{m}{\frac{1}{2^m}} \)
= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{m=n}^{\infty}{\frac{1}{2^m}} \)
= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}({\frac{1}{2^n}}*\frac{1}{1-\frac{1}{2}}) \)
= \( (\frac{1}{1-\frac{1}{2}})^2 \)

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Vielen Dank an alle, hab es jetzt verstanden.

Answer 2

Hallo

 könnt ihr differenzieren? dann differenziere sum x^n und das Ergebnis der Summe x^n, das du kennst.

dann die Summe in 2  Summen zerlegen. (die erste Summe ergibt 2)

Gruß lul

Comments

Differenzieren können/dürfen wir nicht. Gibt es noch einen anderen Weg?

Answer 3

Zeige z.B. per Induktion über n, dass \(\displaystyle\sum_{m=0}^n\frac{m+1}{2^m}=4-\frac{n+3}{2^n}\) ist. Bilde dann den Grenzwert für n→∞.