Wert einer Summe von Differenzen von Wurzeln bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Wert folgender Summe: \( \sum\limits_{k=1}^{80}{(\sqrt{k}-\sqrt{k+1})} \)

Problem/Ansatz:

Als Ergebnis kommt -8 raus, jedoch kann ich den Lösungsweg nicht nachvollziehen. Kann mir bitte jemand sagen, um welche Art von Summe es sich hiebei handelt und die einzelnen Rechenschritte erklären?

Comments

Tipp: Lies auch die "ähnlichen Fragen" Bsp. https://www.mathelounge.de/70694/konvergiert-die-reihe-bzw-existiert-ein-grenzwert-lim-von-bis Kann ja sein, dass am Test etwas kommt, das nur minim anders ist als die Übungsaufgabe :)

---

Danke für den Tipp, mach ich :)

Answer 1

Tipp: Es liegt eine sog. Teleskopsumme vor. Die Summe berechnet sich aus √1 - √81 = -8. Alle anderen Summanden addieren sich zu Null.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Formel für die Teleskopsumme also a₁-a_n+1 korrekt? Sollte diese Formel nicht auch in der Formelsammlung zu finden sein oder muss man sich diese selber herleiten? Habe sie nämlich in meiner nicht gefunden.

---

Du kannst es etwa so herleiten (obere Grenze sei hier 4):$$\quad\sum_{k=1}^4(a_k-a_{k+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)+(a_4-a_5)\\=a_1+(-a_2+a_2)+(-a_3+a_3)+(-a_4+a_4)-a_5\\=a_1+0+0+0-a_5\\=a_1-a_5.$$