Lineare Algebra | Parallelogramm mit Diagonalen aus Vektoren

Question

Parallelogramm mit Diagonalen:

\( d_{1}=\left(\begin{array}{l}{4} \\ {3}\end{array}\right) \quad d_{2}=\left(\begin{array}{c}{2} \\ {-1}\end{array}\right) \)

a) Berechnen Sie Vektoren, die die Seiten des Parallelogramms darstellen.

b) Stellen Sie die Eckpunkte des Parallelogramms in einem Koordinatensystem dar, das einen dieser Eckpunkte als Ursprung besitzt.

c) Die Eckpunkte des Parallelogramms sollen in einem Koordinaten-system dargestellt werden, das den Schnittpunkt der Diagonalen als Ursprung hat.



Ich verstehe nicht, wie diese zwei Vektoren Diagonalen eines Parallelogramms sein können.

Comments

Habe die Idee, dass mein Prof möchte, dass ich diese Vektoren spiegle und dann die jeweiligen Punkte verbinde um so mein Parallelogramm zu erhalten.

---

Nein, das ist sicher nicht gemeint, denn die Diagonalen dieses Parallelogramms sind doppelt so lang wie die vorgegebenen Vektoren.

Answer 1

> Ich verstehe nicht, wie diese zwei Vektoren Diagonalen eines Parallelogramms sein können.

Bedenke, dass ein Vektor lediglich eine Verschiebung darstellt. Ein Vektor hat keinen definierten Anfangspunkt, er kann also überall im Raum liegen. Das ist bei dieser Aufgabe beachtlich.

a) In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Denkt man sich den Vektor d1 im Ursprung beginnend, dann ist der Ursprung zugleich die erste Ecke des Parallelogramms (ich bezeichne sie mit A). und der Punkt ( 4 | 3 ) ist die dritte Ecke (ich bezeichne sie mit C).

Um nun vom Ursprung aus zu der im mathematisch positiven Sinne zweiten Ecke B zu gelangen, muss man auf dem Vektor d1 dessen halbe Länge abschreiten (dann ist man am Mittelpunkt) von d1 und dann in Richtung des Vektors d2 dessen halbe Länge abschreiten. Man erhält:

B = ( 1 /2 ) * d1 + ( 1 / 2 ) * d2 = ( 1 / 2 ) ( d1 + d2 ) = ( 1 / 2 ) * ( ( 4 | 3 ) + ( 2 | - 1 ) ) = ( 3 | 1 )

Dementsprechend muss man, um vom Ursprung aus zu der letzten Ecke D zu gelangen, auf dem Vektor d1 wieder dessen halbe Länge abschreiten (dann ist man wieder am Mittelpunkt von d1) und dann in die entgegengesetzte Richtung des Vektors d2 dessen halbe Länge abschreiten. Man erhält:

D = ( 1 /2 ) * d1 - ( 1 / 2 ) * d2 = ( 1 / 2 ) ( d1 - d2 ) = ( 1 / 2 ) * ( ( 4 | 3 ) - ( 2 | - 1 ) ) = ( 1 | 2 )

 

b) Aufgrund der Konstruktion in a) ist b) schon mit erledigt: Die Ecke A des Parallelogramms liegt im Ursprung.

 

c) Hier muss man von jedem der berechneten Ecken des Parallelogramms aus eine halbe Länge des Vektor d1 in dessen entgegengesetzte Richtung gehen. Dadurch wird der Schnittpunkt der Diagonalen auf den Ursprung verschoben. Alle Ecken unterliegen der gleichen Verschiebung. Also:

A ' = A - ( 1 / 2 ) * d1 = ( 0 | 0 ) - ( 2 | 1,5 ) = ( - 2 | - 1,5 ) 

B ' = B - ( 1 / 2 ) * d1 = ( 3 | 1 ) - ( 2 | 1,5 ) = ( 1 | - 0,5 ) 

C ' = C - ( 1 / 2 ) * d1 = ( 4 | 3 ) - ( 2 | 1,5 ) = ( 2 | 1,5 ) 

D ' = D - ( 1 / 2 ) * d1 = ( 1 | 2 ) - ( 2 | 1,5 ) = ( - 1 | 0,5 ) 

Comments

Vielen Dank für die Antwort!
Damit ich Sie nicht missverstehe:

Meinten Sie bei a) folgendes?

---

Ja, genau so meinte ich es!

Es fehlen eigentlich nur noch die Bezeichnungen der Eckpunkte.

---

Ja, die habe ich in der Eile mal weggelassen ;)

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.