Question

Untersuchen Sie die funktion f auf hoch- tief- und sattelpunkte.

e) f(x)=x^5+2.5x^4

f)  f(x)=1/5x^5-2/3x^3+x

Könnte mir jemand die Rechenwege dazu erklären.

Answer 1

(i) 1.-2.Ableitung bilden -> Die brauchst du gleich

(ii) Notwendige Bedingung: f'(x)=0

Du musst die erste Ableitung gleich 0 setzen, weil du diejenige Stelle(n) suchst, an der/denen die Steigung gleich 0 ist. Man kann sich das gut an einem Berg anschauen: Ganz oben an der Spitze geht es nicht mehr nach oben (Steigung ist nicht da). Die Steigung der Tangente an dieser Stelle ist eben 0. Deswegen die erste Ableitung gleich 0 setzen und die Gleichung lösen. Du erhältst ein, oder mehrere x_E .

(iii) Hinreichende Bedingung: f''(x_E) untersuchen

Hier setzt du die berechneten Stellen ein und untersuchst, ob dieser Wert größer, oder kleiner, als 0 ist.

Wenn f''(x)>0 => linksgekrümmt => x ist eine Minimalstelle

Wenn f''(x)<0 => rechtsgekrümmt => x ist eine Maximalstelle

Sattelpunkte sind per Definition keine Extrempunkte. Meistens hat man Sattelpunkte wenn f''(x)=0.

Dies macht man, um sich das Krümmungsverhalten des Graphen zu f anzuschauen, woraus man folgern kann, dass x eine Minimal-, oder eine Maximalstelle ist.

(iv) y-Koordinaten berechnen

Jetzt nur noch die berechneten Stellen von (ii) in die Funktionsgleichung einsetzen und die Funktionswerte berechnen. Anschließend noch die Punkte H und T, oder S aufschreiben.

Grüße und viel Erfolg beim Rechnen!

Comments

Zu den Aufgaben:

e.) Hier musst du substituieren.

f.) Ausklammern und Satz vom Produkt anwenden.

:)

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Vergess' den letzten Kommentar. xDD

Answer 2

Hallo

 die funktionen ableiten kannst du?

 mögliche Extrempunkte bei f'(x)=0 dann f'' bilden, wenn f*(x1)=0 und f''(x1) positiv liegt bei x1 ein Minimum , wenn f''(x1)<0 ein Max,

bei f''(x1)=0 ein Sattelpunkt Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Wendepunkte findet man mit f''(x)=0

bei e) kannst du in der Ableitung x^3 ausklammern um Nullstellen zu finden

 bei f hast du eine gleichung 4 ten Grades für die Nullstellen setze x^2= z löse für z und dann x=+-√z

Gruß lul

Comments

... bei f''(x1)=0 ein Sattelpunkt Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Sicher?

Answer 3

Hallo Quak,

f(x)=x^{5}+2.5x^{4}

Suche die Nullstellen der ersten Ableitung:

f'(x)=5x^4+10x^3

Verwende dazu den Satz vom Nullprodukt:

5x^4+10x^3=0    |:5

x^4+2x^3=0

x^3(x+2)=0

x^3=0 -----> x₁=0

x+2=0  |-2

x=-2 → x₂=-2

Du musst die Nullstellen der ersten Ableitung nun in die dritte einsetzen:

f''(x)=20x^3+30x^2

f''(0)=20*0^3+30*0^2=0

f''(-2)=20*(-2)^3+30*(-2)^2=-40

-40 ist kleiner als 0. Bei -2 wird also ein Maximum angenommen. ---> 0 Minimum

EDIT:

Bei der Null muss ein Vorzeichenwechsel gemacht werden, da folgendes gilt:

"Wenn f''(x)>0 => linksgekrümmt => x ist eine Minimalstelle
Wenn f''(x)<0 => rechtsgekrümmt => x ist eine Maximalstelle"

-Zitat von XGrafZahlX

Setze beide Nullstellen in die Stammfunktion ein:

f(0)=0^5+2.5*0^4=0

f(-2)=(-2)^5+2.5*(-2)^4=8

Hochpunkt (-2|8)

Tiefpunkt (0|0)

Comments

Vorzeichenwechsel-Kriterium

Ist bei 0 ein Extrema?

Setze dafür -1 und 1 in die erste Ableitung ein:

f'(-1)=5*(-1)^4+10*(-1)^3=-5

f(1)=5*1^4+10*1^3=15

Vorzeichenwechsel von - nach + also wird bei 0 ein Minima angenommen!

https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenwechsel

Answer 4

hier die Ergebnisse für f:

y' = x^4 -2x^2 +1

setze z=x^2

-->

z^2-2z+1=0 ->pq-Formel:

z_1.2=1

->

x_1.2=± 1

usw.