Entscheide sie ob das durch f:ℝ3 → ℝ3 ,
$$ f(x,y,z) = \begin{pmatrix} 6xy+4z^2 \\ 3x^2+3y^2 \\ 8xz+10z^4 \end{pmatrix} $$
definierte Vektorfeld ein Potential besitzt. Falls ja, bestimmen Sie es mit Hilfe des Kurvenintegrals.
Meine Idee:
ℝ3 einfach zusammenhängend und rot f = 0 also existiert ein Potential.
Dann bin ich mir ziemlich unsicher, ob ich das so richtig mache.
Ich wähle einen Startpunkt: q0 = (0,0,0)T
$$U_{q_0}(x,y,z) = \int_{K_1}^{} \! f(x,y,z) \, d(x,y,z) $$
Dann parametrisierung der Kurve:
$$K_1: C_1(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot [\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] = \begin{pmatrix} t\cdot a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , t \in [0,1] $$
$$K_2: C_2(t) = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot [\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] = \begin{pmatrix} a \\ t \cdot b \\ 0 \end{pmatrix} , t \in [0,1] $$
Dann lautet das Kurvenintegral:
$$ U_{q_0}(x,y,z) = \int_{K_1 + K_2}^{} \! f(x,y,z) \, d(x,y,z) = \int_{K_1}^{} \! f(C_1(t)) \cdot f(C_1'(t)) \, dt + \int_{K_2}^{} \! f(C_2(t)) \cdot f(C_2'(t)) \, dt = \int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, dt + \int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} 6atb \\ 3a^2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix} \, dt = 3a^2b $$
Hoffe in meiner Skizze ist erkennbar was ich gemacht habe. Das mit Parametrisierung versteh ich nich so ganz, deswegen wenn wo ein Fehler passiert ist, dann wahrscheinlich dort.