Potential mit Kurvenintegral berechnen

Question

Entscheide sie ob das durch f:ℝ³ → ℝ³ ,

$$ f(x,y,z) = \begin{pmatrix} 6xy+4z^2 \\ 3x^2+3y^2 \\ 8xz+10z^4 \end{pmatrix} $$

definierte Vektorfeld ein Potential besitzt. Falls ja, bestimmen Sie es mit Hilfe des Kurvenintegrals.

Meine Idee:

ℝ³   einfach zusammenhängend und rot f = 0 also existiert ein Potential.

Dann bin ich mir ziemlich unsicher, ob ich das so richtig mache.

Ich wähle einen Startpunkt: q₀ = (0,0,0)^T

$$U_{q_0}(x,y,z) = \int_{K_1}^{} \! f(x,y,z) \, d(x,y,z) $$

Dann parametrisierung der Kurve:

$$K_1: C_1(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot [\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] = \begin{pmatrix} t\cdot a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , t \in [0,1] $$

$$K_2: C_2(t) = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot [\begin{pmatrix} a \\ b \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}] = \begin{pmatrix} a \\ t \cdot b \\ 0 \end{pmatrix} , t \in [0,1] $$

Dann lautet das Kurvenintegral:

$$ U_{q_0}(x,y,z) = \int_{K_1 + K_2}^{} \! f(x,y,z) \, d(x,y,z) =  \int_{K_1}^{} \! f(C_1(t)) \cdot f(C_1'(t)) \, dt + \int_{K_2}^{} \! f(C_2(t)) \cdot f(C_2'(t)) \, dt = \int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  \, dt + \int_{0}^{1} \! \begin{pmatrix} 6atb \\ 3a^2 \\ 0 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix}  \, dt = 3a^2b $$

Hoffe in meiner Skizze ist erkennbar was ich gemacht habe. Das mit Parametrisierung versteh ich nich so ganz, deswegen wenn wo ein Fehler passiert ist, dann wahrscheinlich dort.

Answer 1

Wenn die Integrationsvariable \((x,y,z)\) heisst, kannst Du nicht \(U(x,y,z)\) schreiben. So wie Du das gemacht hast, muss es dann \(U(a,b,c)\) heissen. Und wo ist das \(c\) geblieben? Wenn Du parallel zu den Koordinatenachsen integrieren willst, hat der Weg drei Teile. Alternativ kannst Du auch entlang der Verbindungsstrecke vom Ursprung zu \((a,b,c)\) integrieren. Das ist dann nur ein Weg.

Comments

Kannst du mir bei der Parametrisierung helfen, wenn ich vom ursprung direkt nach (a,b,c) integriere, habe ich ja eine gerade Strecke also:

$$C(t) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

$$ U_{q_0}(x,y,z) = \int_{K}^{} \! f(x,y,z) \, d(x,y,z) =  \int_{0}^{1} \! f(C(t)) \cdot f(C'(t)) \, dt $$

So?

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Ich meinte $$C(t) = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix}$$

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Ich hab doch schon gesagt, dass Du nicht U(x, y, z) schreiben kannst, wenn Du (x, y, z) als Integrationsvariable verwendest.

Gesucht ist für die geradlinige Verbindung von (0, 0, 0) mit (a, b, c) die Parameterdarstellung der Gerade durch diese zwei Punkte. Das kennst Du doch schon aus der Schule.

Der Parameterbereich ist dann noch so einzuschraenken, dass nur die Verbindungsline zwischen den zwei Punkten verbleibt.