Question

Geben Sie jeweils Potenzreihen mit folgenden Eigenschaften an und begründen Sie Ihre Wahl durch eine geeignete Rechnung:

i) Konvergenzradius ρ = 3,

ii) Offenes Konvergenzintervall,

iii) Konvergenz ausschließlich im Punkt x = − π . 4

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Zu i) Schreibe die Formel von Cauchy-Hadamard hin. Finde irgendeine Folge, für die diese Formel das Ergebnis 3 liefert. Alternativ: Schreibe die Formel von Euler hin. Finde irgendeine Folge, für die diese Formel das Ergebnis 3 liefert.

Zu ii) Schreibe alle Potenzreihen auf, die Du schon kennst. Schau, ob was passendes dabei ist.

Zu iii) Schreibe die Formel von Cauchy-Hadamard hin. Finde irgendeine Folge, für die diese Formel das Ergebnis 0 liefert. Alternativ: Schreibe die Formel von Euler hin. Finde irgendeine Folge, für die diese Formel das Ergebnis 0 liefert.

Answer 1

Zu (i) wäre zum Beispiel das hier möglich:

$$ R=3=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{|a_k|}}} \Rightarrow \limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{3}$$

Ein passende Folge dazu wäre zum Beispiel die hier:

$$ a_k=\Big(\frac{k-1}{3k}\Big)^k\cdot x^k $$

\( \limsup_{k \to \infty}{\sqrt[k]{\Bigg|\Big(\frac{k-1}{3k}\Big)^k\cdot x^k\Bigg|}}=\limsup_{k \to \infty}{\Bigg|\Big(\frac{k-1}{3k}\Big)\cdot x\Bigg|}= \limsup_{k \to \infty}{\Bigg|\Bigg(\frac{\frac{k}{k}-\frac{1}{k}}{\frac{3k}{k}}\Bigg)\cdot x\Bigg|}=\limsup_{k \to \infty}{\Bigg|\Bigg(\frac{1-\frac{1}{k}}{3}\Bigg)\cdot x\Bigg|}=\frac{1}{3}\cdot |x|\stackrel{|x|<3}{<}1 \)

Dann hätte man diese Reihe hier.$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\Big(\frac{k-1}{3k}\Big)^k\cdot x^k} $$

Comments

Und warum nicht einfach \(a_k=3^{-k}\)?

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Ah stimmt. Hab zu kompliziert gedacht. XD