Aufgabe: Aufgabe AU37 1.)
Problem/Ansatz:Wie komt man hier auf den Limes superior=e ?
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Aufgabe U37
Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.
1. \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{e^{n}+e^{-n}}{2} \cdot x^{n} \),
3. \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{(3 \cdot x)^{n}}{\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)} \),
2. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n^{2}} \cdot x^{n} \),
4. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right) \cdot x^{n} \).
Lösungsvorschlag:
1. Wegen
\( \frac{1}{2} \cdot e^{n} \leq \frac{e^{n}+e^{-n}}{2} \leq e^{n} \)
und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}=1 \) gilt
\( \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{e^{n}+e^{-n}}{2}}=e \)
Somit ist der Konvergenzradius der ersten Potenzreihe gegeben durch \( r_{1}=e^{-1} \).
2. Es gilt
\( \limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|1-\frac{2}{n}\right|^{n^{2}}}=\limsup _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}=e^{-2} \)
