Gegeben ist ein LGS, Mengen bestimmen für nicht eindeutig lösbares LGS

Question

Also ich habe natürlich schon mal etwas gerechnet, Ax=b und wenn A gegeben ist, kann ich ja auch A^-1 simpel errechnen.

A^-1*Ax=A^-1*b

dann kann ich ja umstellen nach Ex=A^-1*b

also x = A^-1*b

Sprich ich rechne im Endeffekt A*b aber ich komme so doch nicht um meine gesuchten p oder bin ich blöd?

Danke euch vielmals vorab.

Answer 1

schau mal hier vorbei. Dort wird genauso eine Aufgabe in der Form abgearbeitet. Ein Tipp vorweg. Bei solch großen Gleichungssystemen ist der Gauß-Algorithmus am effizientesten einzusetzen.

https://www.mathelounge.de/546856/lineare-gleichungssystem-ax-b

https://www.mathelounge.de/545201/losen-sie-das-lineare-gleichungssystem

Comments

Dann erhalte ich p(1,2,5)

Korrekt? Danke dir für die schnelle Antwort

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vgl. meine Antwort

Answer 2

Hallo Maxi,
ein lineares nxn-Gleichungssystem ist genau dann  nicht eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix den Wert 0 hat.

         ⎡ p  2  -2 ⎤
DET  ⎢ 1  p  -1 ⎥    =  2·p² - 2·p - 2          [ z.B. mit der Sarrusregel  # ]  
         ⎣ 0  p   1 ⎦
2·p² - 2·p - 2 = 0
p² - p - 1 = 0    ⇔  p ∈ { 1/2 ± √5/2 }        [ pq-Formel ]

Für andere Werte von p ist das LGS eindeutig lösbar

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#  https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

Gruß Wolfgang

Comments

Möglicherweise bin ich doch zu blöd..

Wenn ich die 1/2 +- Wurzel 5/2 rechne bekomme ich sehr krumme Werte heraus:

{20811388300841897/10000000000000000,−10811388300841897/10000000000000000}

Sprich als Dezimalzahl 2,0811 und -1,0811

Kann das korrekt sein? In der Regel waren unsere Übungswerte recht "rund"

Danke dir.

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Ich kann in meinem Ergebnis keinen Fehler finden:

\(p_1=\frac { 1 }{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 }·\sqrt{5}≈1,61803399\)

 \(p_2=\frac { 1 }{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 }·\sqrt{5}≈0,61803399\)

Für die Computereingabe sollten aber ggf. genaue Rundungsvorschriften vorgegeben sein?

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Vielleicht muss man auch folgendes beachten:

ein lineares Gleichungssystem ist entweder

- eindeutig lösbar

- nicht eindeutig lösbar

- nicht lösbar

Nach dem zweiten Fall ist gefragt. Um die erweiterte Koeffizientenmatrix kommt man dann vermutlich nicht drumherum.

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ein lineares Gleichungssystem ist entweder
- eindeutig lösbar
- nicht eindeutig lösbar
- nicht lösbar

Da könnte man logisch einiges einwenden. Zumindest müsste man "nichteindeutig" statt                "nicht eindeutig" schreiben.  Aber das ändert nichts an dem offensichtlichen Eingabeproblem am Computer.

Auf den leider allgemein üblichen Missbrauch des Begriffs "lösbar" für "erfüllbar" will ich nicht weiter eingehen.