Beweisen sie, Zeigen, dass Reihe für s>1 konvergiert und s≤1 divergiert

Question

Zeigen sie, die Reihe $$\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{s}}}$$ konvergiert für jedes s ∈ ℚ mit s > 1 und divergiert für s ≤ 1.

Ich verzweifel an dieser Aufgabe, ich hab es mit dem Quotientenkriterium versucht:

$$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| => |\frac{1}{(k+1)^s}*\frac{k^s}{1}| = |\frac{k^s}{(k+1)^s}| $$ aber das hilft mir auch nicht weiter,  

bei dem Wurzelkriterium komm ich auch nicht besonder weit.

 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen, dass Reihe für s>1 konvergiert und s<=1 divergiert</p>

Stichworte: reihe,konvergenz

Nabend zusammen, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, weil s in Q sein muss und ich zum erstem Mal eine solche Aufgabe sehe:

$$\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k^s}}$$

Zeigen Sie, dass die Reihe für jedes s in Q > 1 konvergiert und für jedes s <= 1 divergiert.

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Vom Duplikat:

Titel: Für jedes s ∈ ℚ mit s > 1 konvergiert ∑ (k=1, ∝) 1/k^s

Stichworte: konvergenz,divergenz

Zeigen Sie:

1. Für jedes s ∈ ℚ mit s > 1 konvergiert ∑ (k=1, ∝) 1/k^s.

2. Für jedes s ∈ ℚ mit s ≤ 1 divergiert ∑ (k=1, ∝) 1/k^s.

Answer 1

siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Verwandte_Reihen

und

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium#Anwendungsbeispiel

Ansonsten geht noch das Integralkriterium.