Finden Sie alle Matrizen A∈Mat(2x2,ℂ), für die es eine Matrix B∈Mat(2x2,ℂ) mit B²=A gibt.

Question

Leider hab ich keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss.

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Tipp: Betrachte die Jordan Normalform von A. Wenn A diagonalisierbar ist, existiert eine Matrix B mit der gewünschten Eigenschaft. Sonst ist A ähnlich zu \(J=\begin{pmatrix}z&1\\0&z\end{pmatrix}\) mit geeignetem \(z\in\mathbb C\). Unterscheide die Fälle \(z=0\), bzw. \(z\ne0\).

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Vom Duplikat:

Titel: Ich soll alle Matrizen A ∈ ℂ2x2 finden, für die es eine Matrix B ∈ℂ 2x2 gibt, mit B2=A.

Stichworte: matrix,jordan,normalform

Ich soll alle Matrizen A ∈ ℂ^2x2 finden, für die es eine Matrix B ∈ℂ ^2x2 gibt, mit B²=A.

Jetzt soll ich das mit der Jordan Normalform glaub ich mal machen, nur machen wir die erst nächste Woche in der Vorlesung, aber da muss ich diese Aufgabe gleichzeitig auch schon abgeben. Kann mir deshalb vielleicht jemand weiterhelfen?

Answer 1

komplexe 2x2 Matrizen haben eine jordansche Normalform mit der Form
$$ \begin{pmatrix} \lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix} \text{ oder } \begin{pmatrix} \lambda_1 &0\\0&\lambda_2 \end{pmatrix} $$ Du kannst A darstellen als $$ A = Q^{-1} J Q $$Es reicht eine (müssen nicht eindeutig sein) Wurzel aus \( J \) - sofern möglich - zu ziehen.

Im Fall $$ \begin{pmatrix} \lambda_1 &0\\0&\lambda_2 \end{pmatrix} $$ ist das sehr einfach, denn $$ \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} &0\\0&\sqrt{\lambda_2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \lambda_1 &0\\0&\lambda_2 \end{pmatrix} $$ d.h. mit $$ B := Q^{-1} \begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} &0\\0&\sqrt{\lambda_2} \end{pmatrix}Q $$ erreichst du \( B^2 = A \)

Im Fall $$ \begin{pmatrix} \lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix} $$ muss man nochmal zwei Fälle unterscheiden. Für \( \lambda \neq 0 \) ist $$ \begin{pmatrix} \sqrt\lambda &\frac{1}{2\sqrt\lambda}\\0&\sqrt\lambda \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix} $$ Für \( \lambda = 0 \) existiert keine Wurzel, denn ang. dem wäre so $$ \begin{pmatrix} a &b\\c&d \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} a^2 +bc &(a+d)b\\(a+d)c&cb+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &1\\0&0 \end{pmatrix} $$ dann folgt aus den Körpereigenschaften (Nullteilerfrei!), dass \( a = c = d = 0\). Aber das ist Quatsch, denn \( \left(\begin{smallmatrix} 0&b\\0&0 \end{smallmatrix}\right)^2 = \left(\begin{smallmatrix} 0&0\\0&0 \end{smallmatrix}\right) \)

Answer 2