Da sich gerade niemand erbarmt. Du sollst die Extremata berechnen .
f ' ( t ) = 3 t ² - 2 ^ 4 * 3 t + 3 ² * 13 = 0 | : 3 ( 1a )
t ² - p t + q = 0 ( 1b )
p = 16 ; q = 39 ( 1c )
Wer mich kennt weiß: Lösen tun wir das über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) An dieser Stelle wieder meine Protesterklärung gegen Wiki et al. Diese behaupten nämlich, Entdecker des SRN sei Gauß - die bisher größte Fälschung in der Geschichte der Matematik .
Artin und v.d. Waerden, Urgestein der Algenra ( 1930 ) kennen ihn gar nicht. Dein Lehrer kennt diese Bücher; schließlich ist er gstudiert .
Matematik ist gar nicht so dröge und unspannend, wie du vermeinst .
Der Entdecker des SRN ist völlig anonym; Entdeckungsjahr nach meinen bisherigen Recherchen 1975 . Ja das Teorem ist noch so jungfräulich, dass es die Kopisten bis Heute falsch zitieren. Es hat doch nur Sinn für ===> primitive Polynome ( Warum? )
Sämtliche Autoren, auch Wiki, bemühen ernsthaft Polynome mit gebrochenen ( ! ) Koeffizienten.
Wir müssen eine neue Definition in die Algebra einführen. Ein Polynom heiße normiert, wenn Normalform und primitive Form überein stimmen ( oder was das selbe ist: wenn seine Normalform ganzzahlig ist. )
Laut SRN können normierte Polynome wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben.
Wie gehen wir vor? Vieta das geschmähte Stiefkind
q = t ( max ) t ( min ) = 39 ( 2a )
Die 39 hat die triviale Zerlegung 39 = 1 * 39 so wie die nicht triviale 39 = 3 * 13 . Doch halt; " Minus Mal Minus " gibt doch auch Plus . Hier entscheidet die cartesische Vorzeichenregel
" Zwei Mal Plus "
0 < t ( min ) < t ( max ) ( 2b )
Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist stets Vieta p
p = t ( max ) + t ( min ) ( 2c )
t ( max ) = 1 ; t ( min ) = 39 ; p = 40 ( 3a )
t ( max ) = 3 ; t ( min ) = 13 ; p = 16 ( 3b ) ; ok
Aber woher weiß ich, was Minimum und was Maximum ist? Der ===> Leitkoeffizient ist negativ: für t ===> ( + °° ) geht dein Polynom gegen ( - °° ) Das RECHTESTE Extremum ist dann bei jedem Polynom ein MAXIMUM .